Exercício 1.3 Calcule os limites:
\lim _{n \rightarrow+\infty}\left[1-(0,2)^{n}\right]

Passo 1

O enunciado pede o limite quando n tende a +\infty da sequência
1-(0,2)^{n}.
Informações dadas e o que se quer:
\;1. A sequência cuja expressão depende de n é a_{n}=1-(0,2)^{n}.
\;2. O número base a ser elevado é 0,2 (ou seja, 0{,}2, que é positivo e menor que 1).
\;3. A pergunta é calcular \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\bigl[1-(0,2)^{n}\bigr].

Passo 2

Vamos entender primeiro o comportamento de (0,2)^{n} quando n\to+\infty. É um caso típico de potência com base entre 0 e 1. Escrevo a sequência
b_{n}=(0,2)^{n}.
Observação imediata: 0<0,2<1, portanto todos os termos b_{n} são positivos e menores que 1.

Passo 3

Vou explicar um resultado geral e simples que precisamos: se a é um número real com 0<a<1, então \displaystyle\lim_{n\to+\infty}a^{n}=0.
Prova intuitiva e formal curta (sem usar cálculo avançado):
\;1. Note que a^{n+1}=a\cdot a^{n}. Como 0<a<1, temos a\cdot a^{n}<a^{n}. Logo a sequência (a^{n}) é estritamente decrescente.
\;2. Todos os termos a^{n} são não negativos (porque a>0), então a sequência é limitada inferiormente por 0.
\;3. Uma sequência decrescente e limitada inferiormente converge (teorema básico de sequências). Logo existe L=\lim_{n\to\infty}a^{n} com L\ge 0.
\;4. Tomando limite na relação a^{n+1}=a\cdot a^{n} obtemos L=a\cdot L. Assim (1-a)L=0. Como 1-a>0, resulta L=0.
Portanto \displaystyle\lim_{n\to\infty}a^{n}=0.

Passo 4

Aplicando o resultado do Passo 3 ao nosso caso com a=0,2 (que satisfaz 0<0,2<1), obtemos
\lim_{n\to\infty}(0,2)^{n}=0.

Passo 5

Agora volte à sequência pedida a_{n}=1-(0,2)^{n}. Como subtração é uma operação contínua em \mathbb{R}, podemos passar ao limite termo a termo:
\lim_{n\to\infty}\bigl[1-(0,2)^{n}\bigr]=1-\lim_{n\to\infty}(0,2)^{n}=1-0.
Portanto o limite é 1. Um comentário intuitivo: multiplicar por 0{,}2 muitas vezes vai reduzindo o número até que vire praticamente zero, então 1-(0,2)^{n} tende a ficar cada vez mais próximo de 1.

Resposta

1

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