Exercício 1.3 Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
tende a
da sequência
Informações dadas e o que se quer:
A sequência cuja expressão depende de
é
O número base a ser elevado é
(ou seja,
, que é positivo e menor que
).
A pergunta é calcular
.
Passo 2
Vamos entender primeiro o comportamento de
quando
. É um caso típico de potência com base entre
e
. Escrevo a sequência
Observação imediata:
, portanto todos os termos
são positivos e menores que
.
Passo 3
Vou explicar um resultado geral e simples que precisamos: se
é um número real com
, então
.
Prova intuitiva e formal curta (sem usar cálculo avançado):
Note que
. Como
, temos
. Logo a sequência
é estritamente decrescente.
Todos os termos
são não negativos (porque
), então a sequência é limitada inferiormente por
.
Uma sequência decrescente e limitada inferiormente converge (teorema básico de sequências). Logo existe
com
.
Tomando limite na relação
obtemos
. Assim
. Como
, resulta
.
Portanto .
Prova intuitiva e formal curta (sem usar cálculo avançado):
Portanto
Passo 4
Aplicando o resultado do Passo 3 ao nosso caso com
(que satisfaz
), obtemos
Passo 5
Agora volte à sequência pedida
. Como subtração é uma operação contínua em
, podemos passar ao limite termo a termo:
Portanto o limite é
. Um comentário intuitivo: multiplicar por
muitas vezes vai reduzindo o número até que vire praticamente zero, então
tende a ficar cada vez mais próximo de
.