Exercício 1.3 Calcule os limites:
\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{(-1)^{n-1} n}{n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{n\to+\infty} \frac{(-1)^{n-1} n}{n^{2}+1}.
Informações dadas que vamos usar:
  • A sequência é definida pelo termo geral a_{n}=\dfrac{(-1)^{n-1} n}{n^{2}+1}.
  • n tende a +\infty e toma valores inteiros positivos ( n=1,2,3,\dots).
  • Queremos encontrar o valor do limite quando n cresce sem limite.

Passo 2

Entenda o fator oscilante (-1)^{n-1}. Esse fator vale +1 para n ímpar e -1 para n par, ou seja, ele apenas muda o sinal do termo. Exemplos numéricos para intuição:
a_{1}=\frac{(-1)^{0}\cdot 1}{1^{2}+1}=\frac{1}{2},\qquad a_{2}=\frac{(-1)^{1}\cdot 2}{2^{2}+1}=-\frac{2}{5},\qquad a_{3}=\frac{1\cdot 3}{9+1}=\frac{3}{10},
portanto os sinais alternam, mas precisamos ver o que acontece com o módulo (valor absoluto) dos termos quando n\to\infty.

Passo 3

Calcule o valor absoluto do termo e simplifique para analisar sua ordem de grandeza:
|a_{n}|=\frac{n}{n^{2}+1}.
Uma manipulação útil é dividir numerador e denominador por n:
\frac{n}{n^{2}+1}=\frac{1}{n+\dfrac{1}{n}}.
Aqui cada passo significa: dividi o numerador e o denominador por n para ver como a expressão se comporta quando n cresce. O denominador n+\dfrac{1}{n} tende a +\infty quando n\to\infty, logo essa fração tende a 0. Mas vou dar uma prova mais rigorosa usando uma desigualdade simples.

Passo 4

Use uma desigualdade para obter uma majorante simples que tem limite conhecido. Para n\ge 1 temos
0\le \frac{n}{n^{2}+1}\le \frac{n}{n^{2}}=\frac{1}{n}.
A desigualdade n^{2}+1\ge n^{2} dá a segunda desigualdade. Sabemos que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.
Pelo Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche), se 0\le |a_{n}|\le 1/n e 1/n\to 0, então |a_{n}|\to 0.

Passo 5

Da convergência do valor absoluto para 0 temos que a própria sequência tende a 0: se |a_{n}|\to 0 então a_{n}\to 0. Alternativamente, podemos ver isso como aplicação do fato: produto de uma sequência limitada (aqui (-1)^{n-1} é sempre +1 ou -1, portanto limitada) por uma sequência que tende a 0 (aqui n/(n^{2}+1)) resulta numa sequência que tende a 0.

Resposta

0

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