Exercício 1.3 Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas que vamos usar:
- A sequência é definida pelo termo geral
. -
tende a e toma valores inteiros positivos ( ). - Queremos encontrar o valor do limite quando
cresce sem limite.
Passo 2
Entenda o fator oscilante
. Esse fator vale
para
ímpar e
para
par, ou seja, ele apenas muda o sinal do termo. Exemplos numéricos para intuição:
portanto os sinais alternam, mas precisamos ver o que acontece com o módulo (valor absoluto) dos termos quando
.
Passo 3
Calcule o valor absoluto do termo e simplifique para analisar sua ordem de grandeza:
Uma manipulação útil é dividir numerador e denominador por
:
Aqui cada passo significa: dividi o numerador e o denominador por
para ver como a expressão se comporta quando
cresce. O denominador
tende a
quando
, logo essa fração tende a
. Mas vou dar uma prova mais rigorosa usando uma desigualdade simples.
Passo 4
Use uma desigualdade para obter uma majorante simples que tem limite conhecido. Para
temos
A desigualdade
dá a segunda desigualdade. Sabemos que
Pelo Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche), se
e
, então
.
Passo 5
Da convergência do valor absoluto para
temos que a própria sequência tende a
: se
então
. Alternativamente, podemos ver isso como aplicação do fato: produto de uma sequência limitada (aqui
é sempre
ou
, portanto limitada) por uma sequência que tende a
(aqui
) resulta numa sequência que tende a
.