Seja um aberto conexo e limitado com bordo de classe e um aberto tal que . Sejam e funções de classe .
(1,25 ponto) a) Mostre que
(Dica: Comece calculando e lembre que ).
(1,25 ponto) b) Mostre que:
i) Se em , então .
ii) Se existem números reais e , com pelo menos um deles diferente de zero e tais que e em , então .
Passo 1
O enunciado nos dá um domínio aberto, limitado e com fronteira , e funções onde . Queremos provar a fórmula de Green–Gauss que relaciona um integral de superfície em partialOmega com um integral de volume em Omega, e depois deduzir duas consequências quando De<a f=0 ou sob certas condições de contorno lineares.
Passo 2
Calculemos primeiro a divergência de fnabla g:
nablacdotl(fnabla gr) =nabla fcdotnabla g+f,De<a g
Analogamente,
nablacdotl(gnabla fr) =nabla gcdotnabla f+g,De<a f
Passo 3
Subtraindo essas duas expressões obtemos
nablacdotl(fnabla g - gnabla fr) =f,De<a g - g,De<a f,
já que nabla fcdotnabla g=nabla gcdotnabla f.
Passo 4
Pelo Teorema da Divergência (ou Gauss),
integral duplapartialOmegal(fpartial gpartial n-gpartial fpartial nr)dS =integral triplaOmega nablacdotl(fnabla g - gnabla fr),dV =integral triplaOmegal(f,De<a g - g,De<a fr),dV
Isso demonstra a parte (a).
Passo 5
Para (b-i), tome gequiv1. Então De<a g=0 e partial g/partial n=0, e a identidade de Green vira