Seja Omega subset R^3 um aberto conexo e limitado com bordo partial Omega de classe C^1 e U subset R^3 um aberto tal que barOmega subset U. Sejam f e g: U R funções de classe C^2.
(1,25 ponto) a) Mostre que
integral duplapartial Omega(f partial gpartial n-g partial fpartial n) d S=integral triplaOmega(f De<a g-g De<a f) d x d y d z
(Dica: Comece calculando nabla cdot(f nabla g) e lembre que De<a f=nabla cdot(nabla f)=partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2+partial^2 fpartial z^2 ).
(1,25 ponto) b) Mostre que:
i) Se De<a f=0 em Omega, então integral duplapartial Omega partial fpartial n d S=0.
ii) Se existem números reais alpha e beta, com pelo menos um deles diferente de zero e tais que alpha f+beta partial fpartial n=0 e alpha g+beta partial gpartial n=0 em partial Omega, então integral triplaOmega f De<a g d x d y d z=integral triplaOmega g De<a f d x d y d z.

Passo 1

O enunciado nos dá um domínio OmegasubsetR^3 aberto, limitado e com fronteira C^1, e funções f,gin C^2(U) onde overlineOmegasubset U. Queremos provar a fórmula de Green–Gauss que relaciona um integral de superfície em partialOmega com um integral de volume em Omega, e depois deduzir duas consequências quando De<a f=0 ou sob certas condições de contorno lineares.

Passo 2

Calculemos primeiro a divergência de fnabla g:
nablacdotl(fnabla gr) =nabla fcdotnabla g+f,De<a g
Analogamente,
nablacdotl(gnabla fr) =nabla gcdotnabla f+g,De<a f

Passo 3

Subtraindo essas duas expressões obtemos
nablacdotl(fnabla g - gnabla fr) =f,De<a g - g,De<a f,
já que nabla fcdotnabla g=nabla gcdotnabla f.

Passo 4

Pelo Teorema da Divergência (ou Gauss),
integral duplapartialOmegal(fpartial gpartial n-gpartial fpartial nr)dS =integral triplaOmega nablacdotl(fnabla g - gnabla fr),dV =integral triplaOmegal(f,De<a g - g,De<a fr),dV
Isso demonstra a parte (a).

Passo 5

Para (b-i), tome gequiv1. Então De<a g=0 e partial g/partial n=0, e a identidade de Green vira
integral duplapartialOmegal(fcdot0 - 1cdotpartial fpartial nr)dS =integral triplaOmega(fcdot0 - 1cdotDe<a f),dV =-integral triplaOmegaDe<a f,dV
Mas se De<a f=0 em Omega, o lado direito é zero, logo
integral duplapartialOmegapartial fpartial n,dS=0

Passo 6

Para (b-ii), nas hipóteses de contorno lineares
alpha f + betapartial fpartial n=0, alpha g + betapartial gpartial n=0 em partialOmega,
multiplique a primeira por g e a segunda por f e subtraia:
alpha(fg - gf) + betal(g,tfracpartial fpartial n - f,tfracpartial gpartial nr)=0 ;Longrightarrow; f,tfracpartial gpartial n-g,tfracpartial fpartial n=0 em partialOmega
Assim o integrando de superfície na identidade de (a) é nulo, implicando
integral triplaOmegaf,De<a g,dV =integral triplaOmegag,De<a f,dV

Resposta

(a)
integral duplapartial Omegal(f,tfracpartial gpartial n-g,tfracpartial fpartial nr)dS =integral triplaOmegal(f,De<a g-g,De<a fr)dV
(b-i) Se De<a f=0 então
integral duplapartialOmegapartial fpartial n,dS=0
(b-ii) Sob alpha f+beta,partial f/partial n=0 e alpha g+beta,partial g/partial n=0 em partialOmega,
integral triplaOmegaf,De<a g,dV =integral triplaOmegag,De<a f,dV

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