Exercício 8
Calcule a massa de um arame fino com o formato da hélice
sen te
, com
, se a densidade for .)
Calcule a massa de um arame fino com o formato da hélice
Passo 1
O enunciado pede a massa de um arame fino que tem o formato da hélice
para
, com densidade variável
onde
. Este é um problema de integral de linha para massa, em que vamos parametrizar a curva, calcular o elemento de comprimento
e montar
Passo 2
Calcular a derivada da parametrização e o módulo para obter
.
logo
Então
Passo 3
Expressar a densidade ao longo da curva e montar a integral de massa.
Comox=3cos t e
y=3sin t , temos
Como
Portanto
Passo 4
Fazer a substituição
u = sin t , de modo que
du = cos t, dt . Quando
t=0 ,
u=0 ; quando
t=pi/2 ,
u=1 . Assim
Resposta
A massa do arame é