Exercício 8
Calcule a massa de um arame fino com o formato da hélice sen te , com , se a densidade for .)

Passo 1

O enunciado pede a massa de um arame fino que tem o formato da hélice
vec r(t) = (x(t),y(t),z(t)) = (3cos t,,3sin t,,4t),
para 0 <= t <= pi/2, com densidade variável
de<a(x,y,z) = k,x1 + y^2,
onde k>0. Este é um problema de integral de linha para massa, em que vamos parametrizar a curva, calcular o elemento de comprimento ds e montar
m = integralC de<a(x,y,z), ds

Passo 2

Calcular a derivada da parametrização e o módulo para obter ds.
vec r,'(t) = (-3sin t,,3cos t,,4),
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llVert vec r,'(t)rrVert = raiz(-3sin t)^2 + (3cos t)^2 + 4^2 = raiz9(sin^2 t + cos^2 t) + 16 = raiz9 + 16 = 5
Então
ds = 5, dt

Passo 3

Expressar a densidade ao longo da curva e montar a integral de massa.
Como x=3cos t e y=3sin t, temos
de<al(vec r(t)r) = k,(3cos t)1 + (3sin t)^2 = 3kcos t1 + 9sin^2 t
Portanto
m = integral0^pi/2 de<al(vec r(t)r),llVert vec r,'(t)rrVert, dt = integral0^pi/2 3kcos t1 + 9sin^2 tcdot 5, dt = 15k integral0^pi/2 cos t1 + 9sin^2 t, dt

Passo 4

Fazer a substituição u = sin t, de modo que du = cos t, dt. Quando t=0, u=0; quando t=pi/2, u=1. Assim
m = 15k integral0^1 du1 + 9u^2 = 15k [13arctan(3u)]0^1 = 5kl(arctan(3) - arctan(0)r) = 5karctan(3)

Resposta

A massa do arame é
boxedm = 5k ,arctan(3)

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