Exercício 6. Calcule o MDC:
60 e 72

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o MDC de 60 e 72.
Informações dadas:
  • Os números são 60 e 72.
  • A pergunta é: qual é o maior divisor comum (MDC) entre esses dois números?

Passo 2

Escolha do método: vou mostrar duas formas bem didáticas e úteis na prova:
  1. Fatoração em primos (ótima para entender de onde vem o MDC).
  2. Algoritmo de Euclides (rápido e prático na prova, sem precisar fatorar totalmente).
    Vou fazer os dois e depois comparar — assim você fica com a intuição e com a técnica rápida.

Passo 3

Fatoração em primos — explicando a ideia: decompor cada número como produto de números primos. Um número primo é um número maior que 1 que só é divisível por 1 e por ele mesmo. O MDC é o produto dos primos comuns, com o menor expoente que aparece em cada fatoração.
Vou fatorar 60. Divido por primos pequenos:
60 \div 2 = 30
30 \div 2 = 15
Agora 15 não é divisível por 2; próximo primo 3:
15 \div 3 = 5
E 5 é primo. Então a fatoração de 60 é
60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5.

Passo 4

Agora fatorar 72 passo a passo:
72 \div 2 = 36
36 \div 2 = 18
18 \div 2 = 9
Agora 9 não é divisível por 2; próximo primo 3:
9 \div 3 = 3
3 \div 3 = 1
Portanto a fatoração de 72 é
72 = 2^3 \cdot 3^2.

Passo 5

Achar os fatores primos comuns e escolher os menores expoentes:
  • Em 60 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1.
  • Em 72 = 2^3 \cdot 3^2.
Os primos em comum são 2 e 3.
  • Para 2, os expoentes são 2 (em 60) e 3 (em 72); o menor é 2.
  • Para 3, os expoentes são 1 e 2; o menor é 1.
Multiplicando esses fatores com os menores expoentes:
\mathrm{MDC} = 2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12.

Passo 6

Agora o Algoritmo de Euclides — ideia: \mathrm{MDC}(a,b)=\mathrm{MDC}(b,r) onde r é o resto da divisão de a por b. Repetindo isso até o resto ser 0, o último divisor não-nulo é o MDC. Isso funciona porque qualquer divisor comum de a e b também divide r, e vice-versa.

Passo 7

Aplicando o Algoritmo de Euclides a 60 e 72. Normalmente colocamos o maior primeiro:
72 = 60 \cdot 1 + 12
Aqui o resto é 12. Então
\mathrm{MDC}(72,60) = \mathrm{MDC}(60,12).
Agora dividimos 60 por 12:
60 = 12 \cdot 5 + 0.
O resto é 0, então o último resto não-nulo é 12. Logo
\mathrm{MDC}(60,72)=12.

Passo 8

Confirmação e dica prática: ambos os métodos deram o mesmo resultado 12. Na prova, se o número é relativamente pequeno e você gosta de ver fatores, use fatoração em primos; se quer rapidez e poucos cálculos objetivamente, use o Algoritmo de Euclides (faz duas divisões aqui). Fica a dica: memorizando a técnica do Euclides você economiza tempo.

Resposta

\mathrm{MDC}(60,72)=12

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