Exercício 6. Calcule o MDC:
60 e 72
60 e 72
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o MDC de
e
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Os números são
e . - A pergunta é: qual é o maior divisor comum (MDC) entre esses dois números?
Passo 2
Escolha do método: vou mostrar duas formas bem didáticas e úteis na prova:
- Fatoração em primos (ótima para entender de onde vem o MDC).
- Algoritmo de Euclides (rápido e prático na prova, sem precisar fatorar totalmente).
Vou fazer os dois e depois comparar — assim você fica com a intuição e com a técnica rápida.
Passo 3
Fatoração em primos — explicando a ideia: decompor cada número como produto de números primos. Um número primo é um número maior que
que só é divisível por
e por ele mesmo. O MDC é o produto dos primos comuns, com o menor expoente que aparece em cada fatoração.
Vou fatorar
. Divido por primos pequenos:
Agora
não é divisível por
; próximo primo
:
E
é primo. Então a fatoração de
é
Passo 4
Agora fatorar
passo a passo:
Agora
não é divisível por
; próximo primo
:
Portanto a fatoração de
é
Passo 5
Achar os fatores primos comuns e escolher os menores expoentes:
- Em
. - Em
.
Os primos em comum são
e
.
- Para
, os expoentes são (em ) e (em ); o menor é . - Para
, os expoentes são e ; o menor é .
Multiplicando esses fatores com os menores expoentes:
Passo 6
Agora o Algoritmo de Euclides — ideia:
onde
é o resto da divisão de
por
. Repetindo isso até o resto ser
, o último divisor não-nulo é o MDC. Isso funciona porque qualquer divisor comum de
e
também divide
, e vice-versa.
Passo 7
Aplicando o Algoritmo de Euclides a
e
. Normalmente colocamos o maior primeiro:
Aqui o resto é
. Então
Agora dividimos
por
:
O resto é
, então o último resto não-nulo é
. Logo
Passo 8
Confirmação e dica prática: ambos os métodos deram o mesmo resultado
. Na prova, se o número é relativamente pequeno e você gosta de ver fatores, use fatoração em primos; se quer rapidez e poucos cálculos objetivamente, use o Algoritmo de Euclides (faz duas divisões aqui). Fica a dica: memorizando a técnica do Euclides você economiza tempo.