Exercício 6. Calcule o MDC:
12 e 15

Passo 1

O enunciado pede: calcular o MDC de 12 e 15.
Informações dadas: os dois números são 12 e 15.
Pedido: encontrar \mathrm{MDC}(12,15) (máximo divisor comum).

Passo 2

O que é MDC (explicação didática): \mathrm{MDC}(a,b) é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente a e b.
Isto significa que procuramos todos os divisores inteiros positivos de cada número e escolhemos o maior que aparece nas duas listas.

Passo 3

Método 1 — lista de divisores (método direto e fácil para números pequenos).
Encontrar os divisores de 12: divisores são os inteiros positivos que dividem 12 sem resto.
12: \;1,\;2,\;3,\;4,\;6,\;12
Encontrar os divisores de 15:
15: \;1,\;3,\;5,\;15

Passo 4

Comparar as duas listas e escrever os divisores comuns.
\text{Divisores comuns} = 1,\;3
O maior elemento dessa lista é o que queremos (o máximo divisor comum). (A conclusão numérica final aparece na seção de resposta.)

Passo 5

Método 2 — algoritmo de Euclides (método eficiente e que sempre funciona): explicar e aplicar.
Princípio do algoritmo: para a>b, dividimos a por b e substituímos (a,b) por (b,r), onde r é o resto; o \mathrm{MDC} de (a,b) é igual ao \mathrm{MDC} de (b,r). Repetir até o resto ser zero; o último resto não nulo é o \mathrm{MDC}.
Aplicando a 15 e 12:
15 = 12\cdot 1 + 3
Aqui o resto é 3. Agora aplicamos com 12 e 3:
12 = 3\cdot 4 + 0
O resto ficou 0, portanto o último resto não nulo foi 3. Pelo algoritmo de Euclides, esse último resto não nulo é o \mathrm{MDC}.

Passo 6

Método 3 — fatoração em primos (outra maneira que ajuda a entender): explicar e aplicar.
Fatorar os números em primos:
12 = 2^{2}\cdot 3
15 = 3\cdot 5
Para obter o \mathrm{MDC} pela fatoração, tomar cada primo que aparece em ambos com o menor expoente comum. O primo comum é 3 (expoente mínimo 1), então o produto fica 3. Isso confirma o resultado obtido pelos métodos anteriores.

Resposta

3

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