Exercício 6. Calcule o MDC:
12 e 15
12 e 15
Passo 1
O enunciado pede: calcular o MDC de
e
.
Informações dadas: os dois números são e
.
Pedido: encontrar (máximo divisor comum).
Informações dadas: os dois números são
Pedido: encontrar
Passo 2
O que é MDC (explicação didática):
é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente
e
.
Isto significa que procuramos todos os divisores inteiros positivos de cada número e escolhemos o maior que aparece nas duas listas.
Isto significa que procuramos todos os divisores inteiros positivos de cada número e escolhemos o maior que aparece nas duas listas.
Passo 3
Método 1 — lista de divisores (método direto e fácil para números pequenos).
Encontrar os divisores de : divisores são os inteiros positivos que dividem
sem resto.
Encontrar os divisores de
Encontrar os divisores de
:
Passo 4
Comparar as duas listas e escrever os divisores comuns.
O maior elemento dessa lista é o que queremos (o máximo divisor comum). (A conclusão numérica final aparece na seção de resposta.)
Passo 5
Método 2 — algoritmo de Euclides (método eficiente e que sempre funciona): explicar e aplicar.
Princípio do algoritmo: para , dividimos
por
e substituímos
por
, onde
é o resto; o
de
é igual ao
de
. Repetir até o resto ser zero; o último resto não nulo é o
.
Princípio do algoritmo: para
Aplicando a
e
:
Aqui o resto é
. Agora aplicamos com
e
:
O resto ficou
, portanto o último resto não nulo foi
. Pelo algoritmo de Euclides, esse último resto não nulo é o
.
Passo 6
Método 3 — fatoração em primos (outra maneira que ajuda a entender): explicar e aplicar.
Fatorar os números em primos:
Fatorar os números em primos:
Para obter o
pela fatoração, tomar cada primo que aparece em ambos com o menor expoente comum. O primo comum é
(expoente mínimo
), então o produto fica
. Isso confirma o resultado obtido pelos métodos anteriores.
Resposta
3