Exercício 6. Calcule o MDC:
120 e 180

Passo 1

O enunciado pede para calcular o MDC (Máximo Divisor Comum) dos números 120 e 180.
Informações dadas:
  • Primeiro número: 120.
  • Segundo número: 180.
Pergunta clara:
  • Qual é o valor de \mathrm{MDC}(120,180)?

Passo 2

O que é o MDC e uma ideia prática para calculá-lo:
  • O MDC de dois inteiros é o maior número inteiro que divide ambos sem deixar resto.
  • Dois métodos comuns e úteis em prova:
    1. Algoritmo de Euclides (rápido, usa restos sucessivos).
    2. Fatoração em primos (ensina a entender a estrutura dos números).
      Vou aplicar primeiro o Algoritmo de Euclides porque é o mais ágil em caneta e papel.

Passo 3

Explicando o Algoritmo de Euclides (passo a passo):
  • Se temos dois números inteiros positivos a e b com a<b, escrevemos b = q a + r onde q é o quociente inteiro e r é o resto, 0 \le r < a.
  • Então \mathrm{MDC}(a,b)=\mathrm{MDC}(a,r). Repetimos trocando pares até o resto ser zero; o último resto não nulo é o MDC.
Aplicando a 120 e 180:
180 = 120 \cdot 1 + 60
Aqui o resto é 60. Então
\mathrm{MDC}(120,180)=\mathrm{MDC}(120,60).
Continuamos:
120 = 60 \cdot 2 + 0.
O resto agora é 0, portanto o último resto não nulo é 60. Conclusão pelo algoritmo:
\mathrm{MDC}(120,180)=60.

Passo 4

Vamos consolidar a compreensão usando a fatoração em primos (método alternativo e didático).
Como fatorar números em primos (ideia):
  • Dividir repetidamente por primos pequenos até chegar a 1.
  • Registrar as potências dos primos encontrados.
Fatorando 120:
120 = 2 \cdot 60 = 2 \cdot (2 \cdot 30) = 2 \cdot 2 \cdot (2 \cdot 15) = 2^3 \cdot 15,
e
15 = 3 \cdot 5.
Portanto
120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5.
Fatorando 180:
180 = 2 \cdot 90 = 2 \cdot (2 \cdot 45) = 2^2 \cdot 45,
e
45 = 3 \cdot 15 = 3 \cdot (3 \cdot 5) = 3^2 \cdot 5.
Portanto
180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5.

Passo 5

Como obter o MDC a partir das fatorações em primos:
  • Para cada primo comum, tomar a menor potência entre os dois números e multiplicar.
    Primos comuns entre 120 e 180: 2, 3, 5.
  • Para 2: potências são 2^3 e 2^2 → menor potência 2^2.
  • Para 3: potências são 3^1 e 3^2 → menor potência 3^1.
  • Para 5: potências são 5^1 e 5^1 → menor potência 5^1.
Multiplicando:
\mathrm{MDC}(120,180)=2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60.

Passo 6

Dica prática para prova (resumindo):
  • Use o Algoritmo de Euclides quando quiser rapidez: poucas divisões e chega-se direto ao resultado.
  • Use fatoração em primos quando os números são pequenos e quer verificar a estrutura ou quando for pedir também o MMC (mínimo múltiplo comum).
  • Em ambos os métodos obtivemos o mesmo resultado, o que confirma a resposta.

Resposta

\;60

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