Exercício 6. Calcule o MDC:
120 e 180
120 e 180
Passo 1
O enunciado pede para calcular o MDC (Máximo Divisor Comum) dos números
e
.
Informações dadas:
- Primeiro número:
. - Segundo número:
.
Pergunta clara:
- Qual é o valor de
?
Passo 2
O que é o MDC e uma ideia prática para calculá-lo:
- O MDC de dois inteiros é o maior número inteiro que divide ambos sem deixar resto.
- Dois métodos comuns e úteis em prova:
- Algoritmo de Euclides (rápido, usa restos sucessivos).
- Fatoração em primos (ensina a entender a estrutura dos números).
Vou aplicar primeiro o Algoritmo de Euclides porque é o mais ágil em caneta e papel.
Passo 3
Explicando o Algoritmo de Euclides (passo a passo):
- Se temos dois números inteiros positivos
e com , escrevemos onde é o quociente inteiro e é o resto, . - Então
. Repetimos trocando pares até o resto ser zero; o último resto não nulo é o MDC.
Aplicando a
e
:
Aqui o resto é
. Então
Continuamos:
O resto agora é
, portanto o último resto não nulo é
. Conclusão pelo algoritmo:
Passo 4
Vamos consolidar a compreensão usando a fatoração em primos (método alternativo e didático).
Como fatorar números em primos (ideia):
- Dividir repetidamente por primos pequenos até chegar a
. - Registrar as potências dos primos encontrados.
Fatorando
:
e
Portanto
Fatorando
:
e
Portanto
Passo 5
Como obter o MDC a partir das fatorações em primos:
- Para cada primo comum, tomar a menor potência entre os dois números e multiplicar.
Primos comuns entree : . - Para
: potências são e → menor potência . - Para
: potências são e → menor potência . - Para
: potências são e → menor potência .
Multiplicando:
Passo 6
Dica prática para prova (resumindo):
- Use o Algoritmo de Euclides quando quiser rapidez: poucas divisões e chega-se direto ao resultado.
- Use fatoração em primos quando os números são pequenos e quer verificar a estrutura ou quando for pedir também o MMC (mínimo múltiplo comum).
- Em ambos os métodos obtivemos o mesmo resultado, o que confirma a resposta.