Exercício 5. Calcule o MMC dos números abaixo:
12 e 21 .

Passo 1

Vou deixar claro o que o problema pede e quais dados temos. O enunciado pede: calcular o MMC (mínimo múltiplo comum) dos números 12 e 21. Então os dados são:
  • Número 1: 12.
  • Número 2: 21.

Passo 2

O que é MMC? O MMC de dois números é o menor inteiro positivo que é múltiplo de ambos os números. Em outras palavras, é o menor número que pode ser dividido sem resto por 12 e por 21. Vou mostrar duas maneiras confiáveis de calcular o MMC: (A) fatoração em primos e (B) usando o MDC (máximo divisor comum) com a fórmula \mathrm{mmc}(a,b)=\dfrac{|a b|}{\gcd(a,b)}. Ambas dão o mesmo resultado; você escolhe a que for mais rápida na prova.

Passo 3

Método A — fatoração em primos (passo a passo bem mastigado).
  1. Fatorar 12 em primos:
12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot (2 \cdot 3) \quad\Rightarrow\quad 12 = 2^{2}\cdot 3.
Expliquei: dividir por 2 até não poder mais, depois por 3.
2. Fatorar 21 em primos:
21 = 3 \cdot 7 \quad\Rightarrow\quad 21 = 3^{1}\cdot 7^{1}.
  1. Identificar todos os primos que aparecem nas fatorações: são 2, 3 e 7.
  2. Para cada primo, tomar a maior potência que aparece em qualquer uma das fatorações:
  • para 2: maior potência é 2^{2} (vem de 12);
  • para 3: maior potência é 3^{1} (aparece em ambos, mas expoente máximo é 1);
  • para 7: maior potência é 7^{1} (vem de 21).
  1. Multiplicar essas potências para obter o MMC:
\mathrm{mmc}(12,21)=2^{2}\cdot 3^{1}\cdot 7^{1}=4\cdot 3\cdot 7.
  1. Calcular o produto sem usar calculadora: 4\cdot 3=12, depois 12\cdot 7=84. Logo, pelo método de fatores primos o MMC é 84.

Passo 4

Método B — usar o MDC e a fórmula (útil quando os números são grandes).
  1. A fórmula é
\mathrm{mmc}(a,b)=\frac{|a b|}{\gcd(a,b)},
onde \gcd(a,b) é o máximo divisor comum de a e b. Aqui a=12 e b=21.
2. Calcular \gcd(12,21) com o algoritmo de Euclides:
  • 21 = 12\cdot 1 + 9.
  • 12 = 9\cdot 1 + 3.
  • 9 = 3\cdot 3 + 0.
    Quando o resto chega a 0, o último resto não nulo é o \gcd. Então \gcd(12,21)=3.
  1. Aplicar a fórmula:
\mathrm{mmc}(12,21)=\frac{|12\cdot 21|}{3}=\frac{252}{3}=84.
Resultado igual ao do método de fatoração.

Passo 5

Conclusão e dica prática para a prova: ambos os métodos deram \,84. Para números pequenos e quando se lembra dos fatores primos, a fatoração é direta. Para números maiores, calcular o \gcd por Euclides e usar a fórmula costuma ser mais rápido. Fica a dica: praticar um pouco ambos antes da prova para escolher o mais rápido conforme cada caso.

Resposta

84

Exercícios relacionados