Exercício 2.1.6. Calcule
(n+1)^2+(n+2)^2+cdots+(2 n)^2

Passo 1

O enunciado pede o valor de
(n+1)^2+(n+2)^2+cdots+(2n)^2,
ou seja
sumk=n+1^2nk^2
O conteúdo é soma de quadrados de inteiros consecutivos. Vamos usar a fórmula fechada para
sumk=1^mk^2.

Passo 2

A fórmula conhecida para a soma dos quadrados dos primeiros m inteiros é
sumk=1^mk^2=m,(m+1),(2m+1)6

Passo 3

Podemos escrever
sumk=n+1^2nk^2 =sumk=1^2nk^2-sumk=1^nk^2

Passo 4

Aplicando a fórmula em cada termo:
sumk=1^2nk^2 =2n,(2n+1),(4n+1)6, sumk=1^nk^2 =n,(n+1),(2n+1)6

Passo 5

Fazendo a diferença e simplificando:
sumk=n+1^2nk^2 =2n,(2n+1),(4n+1)-n,(n+1),(2n+1)6 =(2n+1)l(2n(4n+1)-n(n+1)r)6 =(2n+1)(7n^2+n)6 =n,(7n+1),(2n+1)6

Resposta

n,(7n+1),(2n+1)6

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