Exercício 2.1.7. Calcule:
sumk=0^n k^2binomnk x^k.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma
sumk=0^n k^2binomnkx^k
O conteúdo principal aqui é o uso do Teorema do Binômio e o truque de gerar somas de k e k^2 por meio de diferenciação de séries geradoras. Vamos usar que
(1+x)^n=sumk=0^nbinomnkx^k
e então diferenciar para trazer os fatores k e k^2 para fora.

Passo 2

Definimos a função geradora
S(x)=(1+x)^n=sumk=0^nbinomnkx^k
Diferenciando uma vez em relação a x, temos
S'(x)=ddx(1+x)^n=n(1+x)^n-1,
mas também
S'(x)=sumk=0^nkbinomnkx^k-1
Multiplicando por x, obtemos
xS'(x)=sumk=0^nkbinomnkx^k

Passo 3

Para trazer o fator k^2 precisamos diferenciar novamente a soma sum kbinomnk x^k. Observe que
sumk=0^nk^2binomnkx^k = xddxl(sumk=0^nkbinomnkx^kr) = xddxl(xS'(x)r)
Portanto
sumk=0^nk^2binomnkx^k = xl(xS'(x)r)' = xl(S'(x)+xS''(x)r)

Passo 4

Já sabemos S'(x)=n(1+x)^n-1. Agora calculemos
S''(x)=ddxl[n(1+x)^n-1r] =n(n-1)(1+x)^n-2
Substituindo em xl(S'(x)+xS''(x)r), vem
sumk=0^nk^2binomnkx^k = xl[n(1+x)^n-1 + x,n(n-1)(1+x)^n-2r]

Passo 5

Fatorando n x (1+x)^n-2 dentro do colchete:
n(1+x)^n-1 + x,n(n-1)(1+x)^n-2 = n(1+x)^n-2l[(1+x)+x(n-1)r] = n(1+x)^n-2l[1 + nxr]
Logo
sumk=0^nk^2binomnkx^k = n,x,(1+x)^n-2l(1+nxr)

Resposta

boxedsumk=0^nk^2binomnkx^k = n,x,(1+x)^n-2l(1+nxr)

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