Exercício 2.1.7. Calcule:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma
O conteúdo principal aqui é o uso do Teorema do Binômio e o truque de gerar somas de
e
por meio de diferenciação de séries geradoras. Vamos usar que
e então diferenciar para trazer os fatores
e
para fora.
Passo 2
Definimos a função geradora
Diferenciando uma vez em relação a
, temos
mas também
Multiplicando por
, obtemos
Passo 3
Para trazer o fator
precisamos diferenciar novamente a soma
. Observe que
Portanto
Passo 4
Já sabemos
. Agora calculemos
Substituindo em
, vem
Passo 5
Fatorando
dentro do colchete:
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