Exercício 2. Calcule oint_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r} :
\vec{F}(x, y, z)=\left(y z, 2 x z, e^{x y}\right), C é o círculo x^{2}+y^{2}=25, z=5.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}
onde \vec{F}(x,y,z)=(yz,\;2xz,\;e^{xy}) e C é o círculo definido por x^{2}+y^{2}=25 no plano z=5.
O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial em curva fechada num plano horizontal. Como C está em z=5, podemos reduzir ao caso de circulação no plano xy e usar o Teorema de Green.

Passo 2

Como em C temos z=5 constante, segue que dz=0. Logo
\vec{F}\cdot d\vec{r}=P\,dx+Q\,dy
com
P(x,y)=y\,z=5y, \qquad Q(x,y)=2x\,z=10x.

Passo 3

Pelo Teorema de Green,
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\bigl(\partial_xQ-\partial_yP\bigr)\,dA,
onde D é o disco de raio 5 no plano xy.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais:
\partial_xQ=\partial_x(10x)=10, \qquad \partial_yP=\partial_y(5y)=5.
Logo
\partial_xQ-\partial_yP=10-5=5.

Passo 5

Como a área de D é
\text{Area}(D)=\pi\cdot5^{2}=25\pi,
segue
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} =\iint_{D}5\,dA =5\cdot25\pi =125\pi.

Resposta

\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=125\pi.

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