Exercício 4. Calcule o fluxo dos campos vetorias abaixo:
\vec{F}(x, y, z)=\left(x y e^{2}, x y^{2} z^{3},-y e^{z}\right), S é a superfície da caixa delimitada pelos planos coordenadas e pelos planos x=3, y=1, z=1.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \vec{F}(x,y,z)=\bigl(xye^2,\;xy^2z^3,\;-y e^z\bigr) através da superfície fechada S da caixa definida por
0\le x\le3,\quad 0\le y\le1,\quad 0\le z\le1.
O conteúdo principal é o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss), que relaciona o fluxo de um campo vetorial pela superfície fechada ao volume da divergência do campo.

Passo 2

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo de \vec{F} por S é
\iint_{S}\vec{F}\cdot\hat{n}\,dS \;=\;\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\;dV,
onde V é o volume da caixa.

Passo 3

Vamos calcular \nabla\cdot\vec{F}.
\nabla\cdot\vec{F} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(xye^2\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(xy^2z^3\bigr) +\frac{\partial}{\partial z}\bigl(-y e^z\bigr).
Derivando cada termo:
\frac{\partial}{\partial x}(xye^2)=y e^2, \quad \frac{\partial}{\partial y}(xy^2z^3)=2\,xy\,z^3, \quad \frac{\partial}{\partial z}(-y e^z)=-y e^z.
Logo
\nabla\cdot\vec{F} = y e^2 \;+\;2\,x\,y\,z^3\;-\;y e^z.

Passo 4

O fluxo é
\iiint_{V}\bigl(y e^2 +2xyz^3 -y e^z\bigr)\,dV =\int_{0}^{3}\!\!\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\bigl(y e^2 +2xyz^3 -y e^z\bigr)\,dz\,dy\,dx.
Separamos em três integrais:
  1. \displaystyle\int_{0}^{3}\!\!\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}y e^2\,dz\,dy\,dx =e^2\,(3)\!\int_{0}^{1}y\,dy\,(1) =\tfrac{3}{2}e^2.
  2. \displaystyle\int_{0}^{3}\!\!\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}2\,x\,y\,z^3\,dz\,dy\,dx =2\bigl(\tfrac{9}{2}\bigr)\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr) =\tfrac{9}{8}.
  3. \displaystyle\int_{0}^{3}\!\!\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}(-y e^z)\,dz\,dy\,dx =-3\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)\bigl(e-1\bigr) =-\tfrac{3}{2}(e-1).

Passo 5

Somando os três resultados:
\Fluxo =\tfrac{3}{2}e^2 \;+\;\tfrac{9}{8}\;-\;\tfrac{3}{2}(e-1) =\frac{3}{2}e^2-\frac{3}{2}e+\frac{21}{8}.

Resposta

\frac{3}{2}e^2 \;-\;\frac{3}{2}e \;+\;\frac{21}{8}.

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