Exercício 4. Calcule o fluxo dos campos vetorias abaixo:
é a superfície da caixa delimitada pelos planos coordenadas e pelos planos
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da superfície fechada
da caixa definida por
O conteúdo principal é o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss), que relaciona o fluxo de um campo vetorial pela superfície fechada ao volume da divergência do campo.
Passo 2
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo de
por
é
onde
é o volume da caixa.
Passo 3
Vamos calcular
.
Derivando cada termo:
Logo
Passo 4
O fluxo é
Separamos em três integrais:
Passo 5
Somando os três resultados: