I - Desenvolva a Lei de Ampère em materiais magnetizados.
(Explique em detalhes cada termo, argumento matemático e grandeza física envolvida em sua demonstração).
II - Em vista disso, explique o que seriam os meios lineares.
III - Como se classificam os materiais e que valores qualitativos assumem sua suscetibilidade

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
1. Desenvolver a lei de Ampère em materiais magnetizados, detalhando cada termo físico e matemático.
2. Definir o que são meios lineares.
3. Classificar os materiais magnéticos e indicar qualitativamente os valores de sua suscetibilidade magnética \chi_{m}.
Para isso precisaremos dos conceitos de vetor indução magnética \mathbf{B}, intensidade de campo \mathbf{H}, magnetização \mathbf{M}, correntes livres e ligadas e da forma geral das equações de Maxwell em regime estático.

Passo 2

Começamos pela forma integral da lei de Ampère para a indução magnética \mathbf{B} em vizinhança de correntes totais (livres + ligadas):
\oint_{C}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = \mu_{0}\,I_{\text{tot,encl}}.
Em um meio magnetizado, distinguimos a corrente livre I_{\text{livre}} da corrente ligada I_{\text{ligada}}, onde esta última está associada à magnetização \mathbf{M}. Sabe-se que a densidade de corrente ligada volumétrica é
\mathbf{J}_{\text{ligada}} = \nabla\times \mathbf{M},
e a corrente ligada através de uma superfície S limitada por C é
I_{\text{ligada}} = \int_{S} (\nabla\times \mathbf{M})\cdot d\mathbf{a} = \oint_{C}\mathbf{M}\cdot d\mathbf{l}.
Substituindo I_{\text{tot,encl}}=I_{\text{livre}}+I_{\text{ligada}} na lei de Ampère:
\oint_{C}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = \mu_{0}\bigl(I_{\text{livre}} + \oint_{C}\mathbf{M}\cdot d\mathbf{l}\bigr).
Definimos então a intensidade de campo magnético \mathbf{H} por
\mathbf{H} \equiv \frac{1}{\mu_{0}}\mathbf{B} - \mathbf{M}.
Reescrevendo a integral em termos de \mathbf{H}:
\oint_{C}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l} = I_{\text{livre,encl}}.
Aqui,
  • \mathbf{B} é o vetor indução magnética, medido em tesla,
  • \mathbf{H} é a intensidade de campo, em ampère por metro,
  • \mathbf{M} é a magnetização do meio, em ampère por metro, que representa o momento magnético por unidade de volume,
  • I_{\text{livre,encl}} é a corrente conduzida por fios ou condutores externos, excluindo as correntes moleculares ou eletrônicas internas ao material.

Passo 3

Um meio linear é aquele onde a resposta magnética é diretamente proporcional ao campo aplicado. Matematicamente, supõe-se
\mathbf{M} = \chi_{m}\,\mathbf{H},
onde \chi_{m} é a suscetibilidade magnética do meio (adiabática, isotrópica e constante). Dessa relação segue
\mathbf{B} = \mu_{0}\bigl(\mathbf{H} + \mathbf{M}\bigr) = \mu_{0}\bigl(1 + \chi_{m}\bigr)\mathbf{H} \equiv \mu\,\mathbf{H},
com \mu=\mu_{0}(1+\chi_{m}) sendo a permeabilidade magnética do meio. A linearidade implica que nem \chi_{m} nem \mu dependam da intensidade de \mathbf{H}.

Passo 4

Os materiais magnéticos classificam-se em três grandes famílias, segundo o sinal e ordem de grandeza de \chi_{m}:
Diamagnéticos
\chi_{m}<0 (tipicamente |\chi_{m}|\sim10^{-6} a 10^{-5}),
reagem opostamente ao campo aplicado.
Paramagnéticos
\chi_{m}>0 pequeno ( \sim10^{-5} a 10^{-3}),
alinhando-se fracamente ao campo.
Ferromagnéticos
\chi_{m}\gg1,
mostram forte magnetização espontânea e comportamento não linear, com histerese.

Resposta

I – A lei de Ampère em materiais magnetizados fica
\boxed{\oint_{C}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l} = I_{\text{livre,encl}},}
onde \mathbf{H}=\frac{1}{\mu_{0}}\mathbf{B}-\mathbf{M}, \mathbf{M} é a magnetização ligada às correntes internas e I_{\text{livre}} são as correntes externas.
II – Meios lineares são aqueles em que \mathbf{M}=\chi_{m}\mathbf{H} com \chi_{m} constante, levando a \mathbf{B}=\mu\,\mathbf{H}.
III – Materiais diamagnéticos ( \chi_{m}<0, pequeno), paramagnéticos ( \chi_{m}>0, pequeno) e ferromagnéticos ( \chi_{m}\gg1, não linear).

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