Informações relevantes dadas: \,A é uma matriz 5\times5 com entradas inteiras e alguns sinais negativos.
O que preciso entregar: os valores numéricos de \|A\|_{1} e \|A\|_{\infty}.
Passo 2
Definição e ideia didática da norma induzida \|A\|_{1}.
A norma matricial induzida pela norma vetorial \|\cdot\|_{1} é
Intuição prática (a que usamos em prova): \|A\|_{1} é o máximo, entre todas as colunas de A, da soma dos valores absolutos dos elementos dessa coluna. Em notação simples, se a_j é a j-ésima coluna de A então
Logo o supremo não ultrapassa a maior soma de coluna; a igualdade é atingida escolhendo x igual ao vetor canônico e_k que corresponde à coluna com maior soma absoluta.
Passo 3
Cálculo das somas das colunas (usando os dados da matriz acima). Vou calcular coluna por coluna somando os módulos dos elementos.
Intuição prática (útil em prova): \|A\|_{\infty} é o máximo, entre todas as linhas de A, da soma dos valores absolutos dos elementos dessa linha. Em notação,
Por que isso vale (explicação breve): para \|x\|_{\infty}=1 temos \|Ax\|_{\infty}=\max_i\left|\sum_j a_{ij}x_j\right|\le\max_i\sum_j|a_{ij}||x_j|\le\max_i\sum_j|a_{ij}|. A igualdade é atingida escolhendo x cujas componentes sejam os sinais que maximizam uma linha que atinge a soma máxima.
Passo 6
Cálculo das somas das linhas (usando os dados da matriz).