Exercício 6. Calcule \|A\|_{1} e \|A\|_{\infty} se
A=\left( \begin{array}{rrrrr}1 & 1 & -1 & 2 & -1 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 16 & 0 \\ 0 & -1 & 4 & 0 & 0\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule \|A\|_{1} e \|A\|_{\infty} para a matriz A abaixo:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 2 & -1 \\\\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\\\ 4 & 0 & 0 & 16 & 0 \\\\ 0 & -1 & 4 & 0 & 0 \end{pmatrix}
Informações relevantes dadas:
\,A é uma matriz 5\times5 com entradas inteiras e alguns sinais negativos.
O que preciso entregar: os valores numéricos de \|A\|_{1} e \|A\|_{\infty}.

Passo 2

Definição e ideia didática da norma induzida \|A\|_{1}.
A norma matricial induzida pela norma vetorial \|\cdot\|_{1} é
\|A\|_{1}=\sup_{x\neq 0}\frac{\|Ax\|_{1}}{\|x\|_{1}}.
Intuição prática (a que usamos em prova): \|A\|_{1} é o máximo, entre todas as colunas de A, da soma dos valores absolutos dos elementos dessa coluna. Em notação simples, se a_j é a j-ésima coluna de A então
\|A\|_{1}=\max_{1\le j\le n}\|a_j\|_{1}=\max_{1\le j\le n}\sum_{i=1}^{n}|a_{ij}|.
Por que isso vale (explicação breve e didática): para qualquer vetor x com \|x\|_{1}=1 temos Ax=\sum_{j} x_j a_j e, pela desigualdade triangular,
\|Ax\|_{1}\le\sum_j |x_j|\,\|a_j\|_{1}\le\max_j\|a_j\|_{1}\sum_j|x_j|=\max_j\|a_j\|_{1}.
Logo o supremo não ultrapassa a maior soma de coluna; a igualdade é atingida escolhendo x igual ao vetor canônico e_k que corresponde à coluna com maior soma absoluta.

Passo 3

Cálculo das somas das colunas (usando os dados da matriz acima). Vou calcular coluna por coluna somando os módulos dos elementos.
Coluna 1: entradas 1,2,0,4,0. Soma dos módulos:
\sum_{i=1}^5|a_{i1}| = |1|+|2|+|0|+|4|+|0| = 1+2+0+4+0 = 7.
Coluna 2: entradas 1,0,2,0,-1. Soma dos módulos:
\sum_{i=1}^5|a_{i2}| = |1|+|0|+|2|+|0|+|-1| = 1+0+2+0+1 = 4.
Coluna 3: entradas -1,0,0,0,4. Soma dos módulos:
\sum_{i=1}^5|a_{i3}| = |-1|+|0|+|0|+|0|+|4| = 1+0+0+0+4 = 5.
Coluna 4: entradas 2,0,0,16,0. Soma dos módulos:
\sum_{i=1}^5|a_{i4}| = |2|+|0|+|0|+|16|+|0| = 2+0+0+16+0 = 18.
Coluna 5: entradas -1,0,0,0,0. Soma dos módulos:
\sum_{i=1}^5|a_{i5}| = |-1|+0+0+0+0 = 1.

Passo 4

Determino \|A\|_{1} como o máximo das somas calculadas:
as somas das colunas foram 7,\,4,\,5,\,18,\,1. O máximo é 18. Portanto
\|A\|_{1}=18.

Passo 5

Definição e ideia didática da norma induzida \|A\|_{\infty}.
A norma matricial induzida pela norma vetorial \|\cdot\|_{\infty} é
\|A\|_{\infty}=\sup_{x\neq 0}\frac{\|Ax\|_{\infty}}{\|x\|_{\infty}}.
Intuição prática (útil em prova): \|A\|_{\infty} é o máximo, entre todas as linhas de A, da soma dos valores absolutos dos elementos dessa linha. Em notação,
\|A\|_{\infty}=\max_{1\le i\le n}\sum_{j=1}^{n}|a_{ij}|.
Por que isso vale (explicação breve): para \|x\|_{\infty}=1 temos \|Ax\|_{\infty}=\max_i\left|\sum_j a_{ij}x_j\right|\le\max_i\sum_j|a_{ij}||x_j|\le\max_i\sum_j|a_{ij}|. A igualdade é atingida escolhendo x cujas componentes sejam os sinais que maximizam uma linha que atinge a soma máxima.

Passo 6

Cálculo das somas das linhas (usando os dados da matriz).
Linha 1: entradas 1,1,-1,2,-1. Soma dos módulos:
\sum_{j=1}^5|a_{1j}| = |1|+|1|+|-1|+|2|+|-1| = 1+1+1+2+1 = 6.
Linha 2: entradas 2,0,0,0,0. Soma dos módulos:
\sum_{j=1}^5|a_{2j}| = |2|+0+0+0+0 = 2.
Linha 3: entradas 0,2,0,0,0. Soma dos módulos:
\sum_{j=1}^5|a_{3j}| = 0+|2|+0+0+0 = 2.
Linha 4: entradas 4,0,0,16,0. Soma dos módulos:
\sum_{j=1}^5|a_{4j}| = |4|+0+0+|16|+0 = 4+0+0+16+0 = 20.
Linha 5: entradas 0,-1,4,0,0. Soma dos módulos:
\sum_{j=1}^5|a_{5j}| = 0+|-1|+|4|+0+0 = 0+1+4+0+0 = 5.

Passo 7

Determino \|A\|_{\infty} como o máximo das somas de linha:
as somas das linhas foram 6,\,2,\,2,\,20,\,5. O máximo é 20. Portanto
\|A\|_{\infty}=20.

Resposta

\|A\|_{1}=18
\|A\|_{\infty}=20

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