O valor da integral dupla \int_{1}^{4} \int_{y^{2}}^{y} \sqrt{\frac{y}{x}} d x d y é igual a:
\bigcirc a. N.D.A.
\bigcirc b. 2 / 3
\bigcirc c. 1 / 3
\bigcirc d. -49 / 5
\bigcirc e. 98 / 3

Passo 1

Temos que calcular a integral dupla
\int_{1}^{4}\int_{y^{2}}^{y}\sqrt{\frac{y}{x}}\,dx\,dy.
Informações dadas:
  • O integrando é \sqrt{\dfrac{y}{x}}.
  • A integração interna é em x, com limites x=y^{2} (inferior) e x=y (superior).
  • A integração externa é em y, com 1\le y\le 4.
  • As alternativas oferecidas são: (a) N.D.A., (b) 2/3, (c) 1/3, (d) -49/5, (e) 98/3.
Observação sobre os limites (apenas identificando dados): para y em [1,4] temos \,y^{2}\ge y, ou seja, o limite inferior da integral em x é maior que o superior — isso vai gerar um sinal negativo quando efetuarmos a integração em x. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Vamos integrar primeiro em x, tratando y como constante (porque estamos integrando em relação a x). Reescrevemos o integrando para facilitar:
\sqrt{\frac{y}{x}}=\sqrt{y}\,\frac{1}{\sqrt{x}}=y^{1/2}x^{-1/2}.
Aqui eu usei a regra \sqrt{a/b}=\sqrt{a}/\sqrt{b} e a notação de potências: x^{-1/2}=1/\sqrt{x}. Como y é constante frente à integração em x, podemos fatorar y^{1/2} para fora da integral em x.

Passo 3

Aplicamos a integral em x:
\int_{y^{2}}^{y} y^{1/2}x^{-1/2}\,dx = y^{1/2}\int_{y^{2}}^{y} x^{-1/2}\,dx.
Usamos a regra básica de integração de potências: para p\neq -1,
\int x^{p}\,dx=\frac{x^{p+1}}{p+1}.
Aqui p=-\tfrac{1}{2}, então
\int x^{-1/2}\,dx=\frac{x^{1/2}}{1/2}=2x^{1/2}.
Portanto
y^{1/2}\int_{y^{2}}^{y} x^{-1/2}\,dx = y^{1/2}\left[2x^{1/2}\right]_{x=y^{2}}^{x=y}.

Passo 4

Agora avaliamos os limites em x:
y^{1/2}\left[2x^{1/2}\right]_{y^{2}}^{y} =2y^{1/2}\bigl(y^{1/2}-(y^{2})^{1/2}\bigr).
Simplificando as potências:
y^{1/2}\cdot y^{1/2}=y,\qquad (y^{2})^{1/2}=y
(para y\ge 0, que é o nosso caso). Assim
2y^{1/2}\bigl(y^{1/2}-y\bigr)=2\bigl(y-y^{3/2}\bigr).
Logo a integral interna reduz-se à função de y
2\bigl(y-y^{3/2}\bigr).

Passo 5

Agora fazemos a integral externa em y:
\int_{1}^{4} 2\bigl(y-y^{3/2}\bigr)\,dy =2\int_{1}^{4}\bigl(y-y^{3/2}\bigr)\,dy.
Integramos termo a termo usando novamente a regra da potência:
\int y\,dy=\frac{y^{2}}{2},\qquad \int y^{3/2}\,dy=\frac{y^{5/2}}{5/2}=\frac{2}{5}y^{5/2}.
Portanto
2\left(\frac{y^{2}}{2}-\frac{2}{5}y^{5/2}\right) = y^{2}-\frac{4}{5}y^{5/2},
que é a primitiva que devemos avaliar entre 1 e 4.

Passo 6

Avaliação nos extremos:
  • Para y=4:
y^{2}-\frac{4}{5}y^{5/2}=4^{2}-\frac{4}{5}\cdot 4^{5/2}.
Calculamos 4^{5/2}=(4^{1/2})^{5}=2^{5}=32. Então
4^{2}-\frac{4}{5}\cdot 32=16-\frac{128}{5}=\frac{80-128}{5}=-\frac{48}{5}.
  • Para y=1:
1^{2}-\frac{4}{5}\cdot 1^{5/2}=1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}.
Agora a integral definida é valor em 4 menos valor em 1:
-\frac{48}{5}-\frac{1}{5}=-\frac{49}{5}.

Passo 7

Conclusão: o valor da integral dupla é -\dfrac{49}{5}. Entre as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa (d).

Resposta

(d) -\dfrac{49}{5}

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