O valor da integral dupla
é igual a:
a. N.D.A.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
Temos que calcular a integral dupla
Informações dadas:
- O integrando é
. - A integração interna é em
, com limites (inferior) e (superior). - A integração externa é em
, com . - As alternativas oferecidas são: (a) N.D.A., (b)
, (c) , (d) , (e) .
Observação sobre os limites (apenas identificando dados): para
em
temos
, ou seja, o limite inferior da integral em
é maior que o superior — isso vai gerar um sinal negativo quando efetuarmos a integração em
. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Vamos integrar primeiro em
, tratando
como constante (porque estamos integrando em relação a
). Reescrevemos o integrando para facilitar:
Aqui eu usei a regra
e a notação de potências:
. Como
é constante frente à integração em
, podemos fatorar
para fora da integral em
.
Passo 3
Aplicamos a integral em
:
Usamos a regra básica de integração de potências: para
,
Aqui
, então
Portanto
Passo 4
Agora avaliamos os limites em
:
Simplificando as potências:
(para
, que é o nosso caso). Assim
Logo a integral interna reduz-se à função de
Passo 5
Agora fazemos a integral externa em
:
Integramos termo a termo usando novamente a regra da potência:
Portanto
que é a primitiva que devemos avaliar entre
e
.
Passo 6
Avaliação nos extremos:
- Para
:
Calculamos
. Então
- Para
:
Agora a integral definida é valor em
menos valor em
:
Passo 7
Conclusão: o valor da integral dupla é
. Entre as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa (d).
Resposta
(d)