O valor da integral dupla \int_{1}^{4} \int_{y^{2}}^{y} \sqrt{\frac{y}{x}} d x d y é igual a:
\bigcirc a. 98 / 3
\bigcirc b. 2 / 3
\bigcirc c. N.D.A.
\bigcirc d. 49 / 5
\bigcirc e. 1 / 3

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral dupla
\int_{1}^{4}\int_{y^{2}}^{y}\sqrt{\frac{y}{x}}\,dx\,dy.
Informações dadas:
  • A integração é iterada com ordem dx interno e dy externo.
  • O limite interno para x é x=y^{2} até x=y.
  • O limite externo para y é y=1 até y=4.
    Pergunta explícita: qual é o valor numérico dessa integral dupla (comparar com as alternativas dadas).

Passo 2

Observação importante sobre os limites internos: para y\in[1,4] vale y^{2}\ge y (porque y\ge1 implica y^{2}\ge y). Isso significa que, para y>1, o limite inferior y^{2} é maior que o limite superior y. Lembra da propriedade de integrais: para quaisquer a,b,
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = -\int_{b}^{a} f(x)\,dx.
Portanto não há contradição: a integral será apenas negativa em função dessa ordem dos limites. Podemos proceder normalmente avaliando a integral interna com atenção à orientação.

Passo 3

Vamos calcular a integral interna em x, tratando y como constante. O integrando é
\sqrt{\frac{y}{x}}=\sqrt{y}\;\frac{1}{\sqrt{x}}=\sqrt{y}\,x^{-1/2}.
A primitiva de x^{-1/2} em relação a x é 2x^{1/2}, pois \frac{d}{dx}(2x^{1/2})=2\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=x^{-1/2}. Assim uma primitiva de \sqrt{y}\,x^{-1/2} é
\sqrt{y}\cdot 2x^{1/2}=2\sqrt{y}\,\sqrt{x}=2\sqrt{xy}.

Passo 4

Aplicamos a primitiva aos limites x=y^{2} até x=y:
\int_{y^{2}}^{y}\sqrt{\frac{y}{x}}\,dx = \left.2\sqrt{xy}\right|_{x=y^{2}}^{x=y} =2\sqrt{y\cdot y}-2\sqrt{y\cdot y^{2}}.
Calculando as raízes: \sqrt{y\cdot y}=y (pois y\ge1\ge0) e \sqrt{y\cdot y^{2}}=\sqrt{y^{3}}=y^{3/2}. Logo
\int_{y^{2}}^{y}\sqrt{\frac{y}{x}}\,dx = 2y - 2y^{3/2} = 2\bigl(y-y^{3/2}\bigr).
Nota: para y>1 temos y^{3/2}>y, então o resultado é negativo, como esperado pela ordem dos limites.

Passo 5

Agora fazemos a integral externa em y:
\int_{1}^{4}\left[2\bigl(y-y^{3/2}\bigr)\right]dy =2\int_{1}^{4}\bigl(y-y^{3/2}\bigr)dy =2\left(\int_{1}^{4}y\,dy - \int_{1}^{4}y^{3/2}\,dy\right).

Passo 6

Calculamos as primitivas em y:
  • Para y, a primitiva é \tfrac{y^{2}}{2}.
  • Para y^{3/2}, usando \int y^{p}dy = \tfrac{y^{p+1}}{p+1}, com p=\tfrac{3}{2}, obtemos primitiva \dfrac{y^{5/2}}{5/2}=\dfrac{2}{5}y^{5/2}.
    Portanto
2\left(\frac{y^{2}}{2}-\frac{2}{5}y^{5/2}\right)=y^{2}-\frac{4}{5}y^{5/2}.

Passo 7

Avaliamos a expressão entre y=1 e y=4:
\Bigl(y^{2}-\frac{4}{5}y^{5/2}\Bigr)\Big|_{1}^{4} =\left(4^{2}-\frac{4}{5}4^{5/2}\right)-\left(1^{2}-\frac{4}{5}1^{5/2}\right).
Calculos numéricos: 4^{2}=16 e 4^{5/2}=(\sqrt{4})^{5}=2^{5}=32. Assim o termo em 4 é 16-\dfrac{4}{5}\cdot 32=16-\dfrac{128}{5}=\dfrac{80-128}{5}=-\dfrac{48}{5}. O termo em 1 é 1-\dfrac{4}{5}=\dfrac{1}{5}. Subtraindo,
-\frac{48}{5}-\frac{1}{5}=-\frac{49}{5}.
Portanto a integral dupla vale -\dfrac{49}{5}.

Passo 8

Comparando com as alternativas fornecidas: elas apresentam números positivos \dfrac{98}{3},\dfrac{2}{3},\dfrac{49}{5},\dfrac{1}{3} ou a opção “N.D.A.” A nossa resposta é -\dfrac{49}{5}, que não coincide com nenhuma das alternativas numéricas (a alternativa d é \dfrac{49}{5}, sem o sinal negativo). Logo a alternativa correta entre as dadas é a opção “N.D.A.” — mantenha a calma, você conseguiu chegar no resultado correto e percebeu o sinal negativo vindo da ordem dos limites.

Resposta

c. N.D.A.

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