O valor da integral dupla \int_{1}^{4} \int_{y^{2}}^{y} \sqrt{\frac{y}{x}} d x d y é igual a: \bigcirc a. 98 / 3 \bigcirc b. 2 / 3 \bigcirc c. N.D.A. \bigcirc d. 49 / 5 \bigcirc e. 1 / 3
A integração é iterada com ordem dx interno e dy externo.
O limite interno para x é x=y^{2} até x=y.
O limite externo para y é y=1 até y=4.
Pergunta explícita: qual é o valor numérico dessa integral dupla (comparar com as alternativas dadas).
Passo 2
Observação importante sobre os limites internos: para y\in[1,4] vale y^{2}\ge y (porque y\ge1 implica y^{2}\ge y). Isso significa que, para y>1, o limite inferior y^{2} é maior que o limite superior y. Lembra da propriedade de integrais: para quaisquer a,b,
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = -\int_{b}^{a} f(x)\,dx.
Portanto não há contradição: a integral será apenas negativa em função dessa ordem dos limites. Podemos proceder normalmente avaliando a integral interna com atenção à orientação.
Passo 3
Vamos calcular a integral interna em x, tratando y como constante. O integrando é
A primitiva de x^{-1/2} em relação a x é 2x^{1/2}, pois \frac{d}{dx}(2x^{1/2})=2\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=x^{-1/2}. Assim uma primitiva de \sqrt{y}\,x^{-1/2} é
Calculos numéricos: 4^{2}=16 e 4^{5/2}=(\sqrt{4})^{5}=2^{5}=32. Assim o termo em 4 é 16-\dfrac{4}{5}\cdot 32=16-\dfrac{128}{5}=\dfrac{80-128}{5}=-\dfrac{48}{5}. O termo em 1 é 1-\dfrac{4}{5}=\dfrac{1}{5}. Subtraindo,
-\frac{48}{5}-\frac{1}{5}=-\frac{49}{5}.
Portanto a integral dupla vale -\dfrac{49}{5}.
Passo 8
Comparando com as alternativas fornecidas: elas apresentam números positivos \dfrac{98}{3},\dfrac{2}{3},\dfrac{49}{5},\dfrac{1}{3} ou a opção “N.D.A.” A nossa resposta é -\dfrac{49}{5}, que não coincide com nenhuma das alternativas numéricas (a alternativa d é \dfrac{49}{5}, sem o sinal negativo). Logo a alternativa correta entre as dadas é a opção “N.D.A.” — mantenha a calma, você conseguiu chegar no resultado correto e percebeu o sinal negativo vindo da ordem dos limites.