Exercício 7 Calcule:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{\sin (x)}-1}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to0}\frac{e^{\sin(x)}-1}{x}.
O conteúdo é limites de funções que geram forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Para resolver, vamos verificar a forma indeterminada e usar a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, observamos que, quando x\to0, tem-se \sin(x)\to0, logo
e^{\sin(x)} - 1 \;\longrightarrow\; e^0 - 1 = 0
e o denominador x\to0. Portanto, o quociente está na forma \tfrac{0}{0}, o que nos autoriza a aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x. A derivada de e^{\sin(x)} - 1 é
\frac{d}{dx}\bigl(e^{\sin(x)} - 1\bigr) = e^{\sin(x)}\cdot\cos(x),
e a derivada de x é 1. Assim o limite se transforma em
\lim_{x\to0}\frac{e^{\sin(x)}\cos(x)}{1} =\lim_{x\to0}e^{\sin(x)}\cos(x).

Passo 4

Basta agora avaliar em x=0. Temos \sin(0)=0, \cos(0)=1 e e^0=1. Logo
\lim_{x\to0}e^{\sin(x)}\cos(x) =1\cdot1=1.

Resposta

1

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