Exercício 2.1.3. Calcule uma primitiva de:
f(x)=11-6 x^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva F(x) de
f(x)=11-6x^2,
ou seja, uma função F tal que F'(x)=f(x). Vamos usar a técnica de reconhecimento de diferença de quadrados e a primitiva conhecida de integraldu1-u^2.

Passo 2

Note que o denominador é diferença de quadrados:
1-6x^2 = 1 - (raiz6,x)^2

Passo 3

Fazemos a mudança de variável
u = raiz6,x, du = raiz6,dx Longrightarrow dx = duraiz6
Assim,
integral dx1-6x^2 = integral 11 - u^2;duraiz6 = 1raiz6integral du1-u^2

Passo 4

Sabemos que
integral du1-u^2 = artanh(u) + C = 12ln!gl(1+u1-ugr) + C
Logo,
integral dx1-6x^2 = 1raiz6;artanh(u) + C = 1raiz6;artanh(raiz6,x) + C
Ou, escrevendo em forma de logaritmo,
integral dx1-6x^2 = 12raiz6ln!l(1+raiz6,x1-raiz6,xr) + C

Resposta

F(x)=1raiz6;artanh(raiz6,x)+C ou F(x)=12raiz6ln!l(1+raiz6,x1-raiz6,xr)+C

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