5- Um observador verifica que um avião se aproxima com uma velocidade de 200 km / h e altitude de 4 k m. Qual será a taxa de variação do ângulo formado pela direção da visão do observador quando a distância horizontal entre o avião e o observador for de 3 km ?

Passo 1

O enunciado dá um avião que voa a altitude constante de 4,km e se aproxima horizontalmente de um observador com velocidade de 200,km/h. Queremos a taxa de variação do ângulo de elevação theta quando a distância horizontal x entre o avião e o observador é 3,km.

Passo 2

Definimos
x(t) = distância horizontal do avião ao observador,
y=4,km (constante),
theta(t)=arctanl(tfracyx(t)r).
Como o avião se aproxima, x diminui, logo
dxdt=-200 km/h

Passo 3

Derivamos theta=arctan(y/x) em relação a t:
dthetadt = 11+(y/x)^2,ddtl(tfracyxr)
Como y é constante,
ddtl(tfracyxr) = -yx^2,dxdt
Logo
dthetadt = -y,(dx/dt)x^2+y^2

Passo 4

Substituindo y=4, x=3 e dx/dt=-200:
dthetadt = -4cdot(-200)3^2+4^2 = 80025 =32

Passo 5

O sinal positivo mostra que o ângulo de elevação aumenta à medida que o avião se aproxima. A unidade é radiano por hora.

Resposta

dthetadt=32 rad/h

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