Calcular cada uma das matrizes e^A e^B, e^B e^A, e^A+B quando A=[ll1 & 1 0 & 0] e B=[cc1 & -1 0 & 0], e observar que os três resultados são distintos.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as matrizes exp(A)exp(B), exp(B)exp(A) e exp(A+B), onde
A = 1 & 10 & 0, B = 1 & -10 & 0
O conteúdo principal é o exponencial de matrizes via série de Taylor
exp(M)=sumk=0^inftyM^kk!,
e a observação de que A e B são idempotentes ( M^2=M).

Passo 2

Vamos mostrar que A e B são idempotentes.
A^2 =1&10&0 1&10&0 =1&10&0=A,
B^2 =1&-10&0 1&-10&0 =1&-10&0=B
Logo, para todo k>=1 vale A^k=A e B^k=B.

Passo 3

Usando a série de Taylor para e^A e e^B:
exp(A) =I+sumk=1^inftyA^kk! =I+Asumk=1^infty1k! =I+(e-1),A,
exp(B) =I+(e-1),B

Passo 4

Calculamos exp(A)exp(B):
exp(A)exp(B) =l[I+(e-1)Ar]l[I+(e-1)Br] =I+(e-1)(A+B)+(e-1)^2,AB
Como AB=B, segue
exp(A)exp(B) =I+(e-1)(A+B)+(e-1)^2B =I+(e-1)A+(e-1)l[1+(e-1)r]B =I+(e-1)A+e(e-1)B
Substituindo A e B,
exp(A)exp(B) =1 & 00 & 1 +(e-1)1&10&0 +e(e-1)1&-10&0 =e^2 & -(e-1)^20&1

Passo 5

Analogamente,
exp(B)exp(A) =I+(e-1)(A+B)+(e-1)^2,BA
Como BA=A, vem
exp(B)exp(A) =I+(e-1)(A+B)+(e-1)^2A =I+(e-1)B+e(e-1)A,
e portanto
exp(B)exp(A) =e^2&(e-1)^20&1

Passo 6

Para , note que
Denotando , temos e

Passo 7

Comparando os três resultados:
exp(A)exp(B)=e^2&-(e-1)^20&1, exp(B)exp(A)=e^2&(e-1)^20&1, exp(A+B)=e^2&00&1,
vemos que são matrizes distintas.

Resposta

exp(A)exp(B)=e^2 & -(e-1)^2 0 & 1
exp(B)exp(A)=e^2 & (e-1)^2 0 & 1
exp(A+B)=e^2 & 0 0 & 1

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