Exercício 2.1.3. Calcule uma primitiva de:
g(x)=1raiza^2 x^2+b^2, a neq 0, b neq 0.

Passo 1

O enunciado pede uma primitiva da função
g(x)=1raiza^2x^2+b^2, com aneq0 e bneq0.
O conteúdo envolve antiderivadas do tipo 1raizx^2+alpha^2 e uso de substituição hiperbólica.

Passo 2

Fazemos a substituição hiperbólica
x = basinh t, dx = bacosh t,dt
Note que
raiza^2x^2+b^2 = raiza^2,b^2a^2sinh^2t + b^2 = raizb^2(sinh^2t+1) = bcosh t
Substituindo em g(x),dx vem
1raiza^2x^2+b^2,dx = 1bcosh t,bacosh t,dt = 1a,dt

Passo 3

Integramos em função de t:
integral 1a,dt = ta + C

Passo 4

Voltando para x, temos
t = arcsinh!l(tfracaxbr),
logo uma primitiva é
1a,arcsinh!l(tfracaxbr) + C
Usando
arcsinh(z)=lnl(z+raiz1+z^2r),
chegamos também a
1a,lnl|ax + raiza^2x^2+b^2r| + C',
onde C' é constante de integração.

Resposta

1a,lnl|ax + raiza^2x^2+b^2r| + C

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