6- Uma pedra lançada numa lagoa provoca uma série de ondulações concèntricas. Se o raio da onda exterior cresce uniformemente à taxa de determine a taxa com que a área da água perturbada está crescendo quando e quando metros.
Passo 1
O enunciado diz que uma pedra cria ondas concêntricas num lago cujo raio externo cresce uniformemente à taxa
Pede-se a taxa de crescimento da área perturbada, ou seja, , nos instantes em que m e m. Vamos usar a relação entre área de um círculo e seu raio e aplicar derivação implícita no tempo.
Passo 2
A área da região perturbada é dada pela fórmula do círculo:
Passo 3
Para achar a taxa de variação de no tempo, derivamos ambos os lados em relação a , lembrando que depende de :
Passo 4
Substituindo na expressão, obtemos
Passo 5
Quando m,
Passo 6
Quando r=6 m,
dAdtl|r=6 = 3,6pi times 6 = 21,6pim^2/s
Resposta
Para r=3 m: dAdt=10,8pim^2/s.
Para r=6 m: dAdt=21,6pim^2/s.