6- Uma pedra lançada numa lagoa provoca uma série de ondulações concèntricas. Se o raio r da onda exterior cresce uniformemente à taxa de 1,8 m / s determine a taxa com que a área da água perturbada está crescendo quando r=3 e quando r=6 metros.

Passo 1

O enunciado diz que uma pedra cria ondas concêntricas num lago cujo raio externo r cresce uniformemente à taxa
drdt = 1,8m/s
Pede-se a taxa de crescimento da área perturbada, ou seja, dA/dt, nos instantes em que r=3 m e r=6 m. Vamos usar a relação entre área de um círculo e seu raio e aplicar derivação implícita no tempo.

Passo 2

A área A da região perturbada é dada pela fórmula do círculo:
A = pi r^2

Passo 3

Para achar a taxa de variação de A no tempo, derivamos ambos os lados em relação a t, lembrando que r depende de t:
dAdt = ddtl(pi r^2r) = 2pi r,drdt

Passo 4

Substituindo dfracdrdt=1,8m/s na expressão, obtemos
dAdt = 2pi r times 1,8 = 3,6pi,r(m^2/s)

Passo 5

Quando r=3 m,
dAdtl|r=3 = 3,6pi times 3 = 10,8pim^2/s

Passo 6

Quando r=6 m,
dAdtl|r=6 = 3,6pi times 6 = 21,6pim^2/s

Resposta

Para r=3 m: dAdt=10,8pim^2/s.
Para r=6 m: dAdt=21,6pim^2/s.

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