Exercício 4. Calcule as seguintes derivadas
f(x)=\ln (4 x)\left(2 x^{3}+4 x\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\ln(4x)\,\bigl(2x^{3}+4x\bigr).
Aqui vamos precisar da regra do produto e da regra da cadeia para derivar \ln(4x).

Passo 2

Definimos
u(x)=\ln(4x), \quad v(x)=2x^{3}+4x.
Primeiro, derivamos u(x) usando a regra da cadeia:
u'(x)=\frac{d}{dx}\ln(4x) =\frac{1}{4x}\cdot 4 =\frac{1}{x}.

Passo 3

Agora derivamos v(x), que é um polinômio:
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x^{3}+4x\bigr) =6x^{2}+4.

Passo 4

Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 5

Substituindo u', v, u e v':
f'(x) =\frac{1}{x}\bigl(2x^{3}+4x\bigr) +\ln(4x)\,\bigl(6x^{2}+4\bigr).
Dentro do primeiro termo, factorizamos 1/x:
\frac{1}{x}(2x^{3}+4x)=2x^{2}+4.

Passo 6

Portanto a forma simplificada de f'(x) é
f'(x)=2x^{2}+4+(6x^{2}+4)\,\ln(4x).
Opcionalmente, podemos fatorar 2:
f'(x) =2\bigl(x^{2}+2\bigr)+2\bigl(3x^{2}+2\bigr)\ln(4x) =2\Bigl[(x^{2}+2)+(3x^{2}+2)\ln(4x)\Bigr].

Resposta

f'(x)=2x^{2}+4+(6x^{2}+4)\,\ln(4x).

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