Exercício 4. Calcule as seguintes derivadas
f(x)=\frac{e^{-5 x}}{\sqrt{x^{3}}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{e^{-5x}}{\sqrt{x^{3}}}
ou seja, de f(x)=e^{-5x}\,x^{-\tfrac32}. Vamos usar as regras de derivação: regra do produto e regra da cadeia (para e^{-5x}), além da regra do poder (para x^{-\tfrac32}).

Passo 2

Reescrevo
f(x)=e^{-5x}\,x^{-\tfrac32}
de modo a aplicar a regra do produto:
u(x)=e^{-5x}, \quad v(x)=x^{-\tfrac32}.

Passo 3

Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Calculando cada derivada:
u'(x)=\frac{d}{dx}e^{-5x}=-5e^{-5x} \quad\text{(cadeia)},
v'(x)=\frac{d}{dx}x^{-\tfrac32} =-\tfrac32\,x^{-\tfrac52} \quad\text{(poder)}.
Logo,
f'(x)=-5e^{-5x}\,x^{-\tfrac32} +e^{-5x}\bigl(-\tfrac32\,x^{-\tfrac52}\bigr).

Passo 4

Fatoro e^{-5x}x^{-\tfrac52} em comum:
f'(x)=e^{-5x}x^{-\tfrac52}\Bigl(-5x-\tfrac32\Bigr) =-e^{-5x}x^{-\tfrac52}\Bigl(5x+\tfrac32\Bigr).
Para deixar num único quociente,
x^{-\tfrac52}=\frac{1}{x^{5/2}} \quad\text{e}\quad 5x+\tfrac32=\frac{10x+3}{2},
então

Resposta

f'(x) =-\frac{10x+3}{2}\,\frac{e^{-5x}}{x^{5/2}}.

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