Exercício 4. Calcule as seguintes derivadas
f(x)=\sin (\cos (5 x))

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sin\bigl(\cos(5x)\bigr).
O conteúdo é derivada de função composta (regra da cadeia) aplicada a funções trigonométricas: sabemos que
  • \tfrac{d}{dx}\sin(u)=\cos(u)\,u',
  • \tfrac{d}{dx}\cos(v)=-\sin(v)\,v'.

Passo 2

Identificamos a composição em três níveis:
h(x)=5x,\quad g(t)=\cos(t),\quad w(s)=\sin(s),
de modo que f(x)=w\bigl(g(h(x))\bigr).

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada camada:
h'(x)=5,
g'(t)=-\sin(t),
w'(s)=\cos(s).

Passo 4

Pela regra da cadeia,
f'(x) = w'\bigl(g(h(x))\bigr)\;\cdot\;g'\bigl(h(x)\bigr)\;\cdot\;h'(x).
Substituindo:
w'\bigl(g(h(x))\bigr)=\cos\bigl(\cos(5x)\bigr),
g'\bigl(h(x)\bigr)=-\sin\bigl(5x\bigr),
h'(x)=5,
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f'(x) =\cos\bigl(\cos(5x)\bigr)\,\bigl[-\sin(5x)\bigr]\,5 =-5\,\sin(5x)\,\cos\bigl(\cos(5x)\bigr).

Resposta

f'(x)=-5\,\sin(5x)\,\cos\bigl(\cos(5x)\bigr).

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