Exercício 4. Calcule as seguintes derivadas
f(x)=x \sin \left(\sqrt{x}-x^{2}\right)

Passo 1

Estamos calculando a derivada de
f(x)=x\sin\bigl(\sqrt{x}-x^{2}\bigr).
O conteúdo principal aqui é a regra do produto (para x\cdot\sin(\cdot)) junto com a regra da cadeia (para \sin(\sqrt{x}-x^{2})).

Passo 2

Seja
u(x)=x, \quad v(x)=\sin\bigl(\sqrt{x}-x^{2}\bigr).
Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) =\sin\bigl(\sqrt{x}-x^{2}\bigr) + x\cdot v'(x).

Passo 3

Para v'(x), note que
v(x)=\sin\bigl(w(x)\bigr), \quad w(x)=\sqrt{x}-x^{2}.
Pela regra da cadeia,
v'(x)=\cos\bigl(w(x)\bigr)\,w'(x).
Agora
w'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{x}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr) =\frac{1}{2\sqrt{x}}-2x.

Passo 4

Substituindo v'(x) em f'(x):
f'(x) =\sin\bigl(\sqrt{x}-x^{2}\bigr) + x\cdot \cos\bigl(\sqrt{x}-x^{2}\bigr)\,\Bigl(\frac{1}{2\sqrt{x}}-2x\Bigr).
Podemos escrever x\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}}{2}, logo
f'(x) =\sin\bigl(\sqrt{x}-x^{2}\bigr) +\cos\bigl(\sqrt{x}-x^{2}\bigr)\,\Bigl(\frac{\sqrt{x}}{2}-2x^{2}\Bigr).

Resposta

f'(x) =\sin\bigl(\sqrt{x}-x^{2}\bigr) +\cos\bigl(\sqrt{x}-x^{2}\bigr)\,\Bigl(\frac{\sqrt{x}}{2}-2x^{2}\Bigr).

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