3^ a Questão Verifique, justificando, quais das funções abaixo, saisfazem o Teorema do Valor Intermediário, no intervalo dado, e em caso afirmativo, determine o(s) valores da(s) constante(s) existente(s) dada pelo teorema.
x=1
em [0, 2]
Não é derivável em

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função hf(x)=|x^2-1| satisfaz o Teorema do Valor Intermediário no intervalo [0,2] e, em caso afirmativo, determinar os valores de c garantidos pelo teorema para um valor arbitrário k entre hf(0) e hf(2).

Passo 2

Observamos que hf é composta por um polinômio e a aplicação do valor absoluto, ambos contínuos em R. Logo, hf é contínua em [0,2] e satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Intermediário.

Passo 3

Calculamos os valores nos extremos:
hf(0)=|0^2-1|=1,
hf(2)=|2^2-1|=3
Assim, para todo kin[1,3], o Teorema do Valor Intermediário garante ao menos um cin[0,2] tal que hf(c)=k.

Passo 4

Para encontrar esse(s) c, resolvemos a equação:
|c^2-1|=k
Isso gera dois casos:
  1. c^2-1=k implies c^2=k+1 implies c=raizk+1.
  2. c^2-1=-k implies c^2=1-k implies c=raiz1-k.

Passo 5

Analisando as soluções em [0,2]:
  • Da primeira equação, raizk+1in[0,2] para todo kin[1,3], gerando sempre uma solução válida.
  • Da segunda, raiz1-k é real apenas se 1-k>=0, isto é, k<=1. No nosso intervalo [1,3], essa solução existe somente em k=1, dando c=0.
    Portanto, para kin(1,3] temos c=raizk+1 e, em k=1, surgem duas soluções: c=0 e c=raiz2.

Resposta

A função hf(x)=|x^2-1| satisfaz o Teorema do Valor Intermediário em [0,2]. Para qualquer kin[1,3], existem valores de c tais que hf(c)=k, dados por
c=raizk+1(forall kin[1,3])
e, adicionalmente, em k=1, também c=0.

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