Exercício 2. Calcule as seguintes derivadas parciais de ordem superior:
fx x para f(x, y)=e^xx y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada parcial de segunda ordem em relação a x de f(x,y)=e^xx,y. O conteúdo envolvido é derivada parcial de ordem superior e vamos usar regras de derivação (produto, quociente e simplificação) para chegar em fxx.

Passo 2

Primeiro encontramos a derivada parcial de primeira ordem fx. Como y é tratado como constante, definimos g(x)=e^x/x e aplicamos a regra do quociente:
Derivando g(x)=dfrace^xx obtemos
g'(x)=x,e^x - e^xcdot1x^2=e^x(x-1)x^2

Passo 3

Logo,
fx=1y,g'(x)=e^x(x-1)x^2,y

Passo 4

Em seguida, aplicamos novamente a regra do quociente em
fx=h(x)d(x), h(x)=e^x(x-1), d(x)=x^2y

Passo 5

Calculamos as derivadas:
h'(x)=e^x(x-1)+e^x= x,e^x, d'(x)=2x,y

Passo 6

Então a derivada de segunda ordem é
fxx=h'(x)d(x)-h(x)d'(x)[d(x)]^2 = x^3y,e^x -2x y,e^x(x-1)x^4y^2

Passo 7

Por fim simplificamos fatorando e^x y x no numerador e cancelando com o denominador:
fxx=e^x(x^2-2x+2)x^3y

Resposta

fxx=dfrace^x,(x^2-2x+2)x^3,y

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