Exercício 2. Calcule as seguintes derivadas parciais de ordem superior:
para
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada parcial de segunda ordem em relação a x de
. O conteúdo envolvido é derivada parcial de ordem superior e vamos usar regras de derivação (produto, quociente e simplificação) para chegar em
.
Passo 2
Primeiro encontramos a derivada parcial de primeira ordem
. Como
é tratado como constante, definimos
e aplicamos a regra do quociente:
Derivando obtemos
Derivando
Passo 3
Logo,
Passo 4
Em seguida, aplicamos novamente a regra do quociente em
Passo 5
Calculamos as derivadas:
Passo 6
Então a derivada de segunda ordem é
Passo 7
Por fim simplificamos fatorando
no numerador e cancelando com o denominador: