3^ a Questão Verifique, justificando, quais das funções abaixo, saisfazem o Teorema do Valor Intermediário, no intervalo dado, e em caso afirmativo, determine o(s) valores da(s) constante(s) existente(s) dada pelo teorema.
he(x)=x-sen(x)
em 0, pi

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função he(x)=x-sin(x) satisfaz o Teorema do Valor Intermediário (TVI) no intervalo [0,pi], e em caso afirmativo encontrar o(s) valor(es) da(s) constante(s) garantida(s) pelo teorema. O conteúdo aqui é o TVI, que exige continuidade da função em um intervalo fechado.

Passo 2

Primeiro vamos ver se he é contínua em [0,pi]. Sabemos que a função identidade xmapsto x e a função seno xmapstosin(x) são contínuas em R. Como he(x)=x-sin(x) é combinação linear de contínuas, ela é contínua em todo R, logo em [0,pi].
Em seguida avaliamos os valores nos extremos do intervalo:
he(0)=0-sin(0)=0, he(pi)=pi-sin(pi)=pi
Assim, he(0)=0 e he(pi)=pi.

Passo 3

Pelo Teorema do Valor Intermediário, como he é contínua em [0,pi] e 0 e pi são os valores em x=0 e x=pi, então para qualquer k entre 0 e pi existe ao menos um cin[0,pi] tal que
he(c)=c-sin(c)=k

Passo 4

Adicionalmente, nota-se que he'(x)=1-cos(x) é não negativa em [0,pi], o que mostra que he é estritamente crescente aí. Logo, para cada kin[0,pi] há exatamente um cin[0,pi] resolvendo c-sin(c)=k.

Resposta

A função he(x)=x-sin(x) satisfaz o Teorema do Valor Intermediário em [0,pi]. Para cada valor k no intervalo [0,pi] existe um único cin[0,pi] tal que c-sin(c)=k.

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