Questão Verifique, justificando, quais das funções abaixo, saisfazem o Teorema do Valor Intermediário, no intervalo dado, e em caso afirmativo, determine o(s) valores da(s) constante(s) existente(s) dada pelo teorema.
em
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
satisfaz o Teorema do Valor Intermediário (TVI) no intervalo
, e em caso afirmativo encontrar o(s) valor(es) da(s) constante(s) garantida(s) pelo teorema. O conteúdo aqui é o TVI, que exige continuidade da função em um intervalo fechado.
Passo 2
Primeiro vamos ver se
é contínua em
. Sabemos que a função identidade
e a função seno
são contínuas em
. Como
é combinação linear de contínuas, ela é contínua em todo
, logo em
.
Em seguida avaliamos os valores nos extremos do intervalo:
Em seguida avaliamos os valores nos extremos do intervalo:
Assim,
Passo 3
Pelo Teorema do Valor Intermediário, como
é contínua em
e
e
são os valores em
e
, então para qualquer
entre
e
existe ao menos um
tal que
Passo 4
Adicionalmente, nota-se que
é não negativa em
, o que mostra que
é estritamente crescente aí. Logo, para cada
há exatamente um
resolvendo
.
Resposta
A função
satisfaz o Teorema do Valor Intermediário em
. Para cada valor
no intervalo
existe um único
tal que
.