Exercício 3. Calcule as derivadas das seguintes funções:
F:] 1,+\infty\left[\rightarrow \mathbb{R}\right. dada por F(x)=\int_{1}^{x} \ln (t) d t

Passo 1

O enunciado dá a função F:\,]1,+\infty[\to\mathbb{R} definida por
F(x)=\int_{1}^{x}\ln(t)\,dt.
O que se pede: calcular as derivadas de F. Vou determinar explicitamente F'(x) e F''(x). As informações relevantes que temos:
  • O integrando é \ln(t).
  • O intervalo de definição de F é ]1,+\infty[, onde \ln(t) é contínua e bem definida.
  • A integral é a integral definida de 1 até x.

Passo 2

Usando uma propriedade básica de integrais (Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1): se f é contínua numa vizinhança do intervalo entre a e x, então a função definida por
G(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt
é diferenciável e vale
G'(x)=f(x).
Aqui f(t)=\ln(t) é contínua em ]1,+\infty[, logo podemos aplicar diretamente e obter
F'(x)=\ln(x).

Passo 3

Vou mostrar uma maneira alternativa (útil para verificar) encontrando a primitiva de \ln t e depois diferenciando a expressão obtida. Para \int \ln t\,dt usamos integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e dv são escolhas convenientes. Escolhendo u=\ln t e dv=dt, obtemos:
  • du=\dfrac{1}{t}\,dt,
  • v=t.

Passo 4

Aplicando integração por partes:
\int \ln t\,dt = t\ln t - \int t\cdot\frac{1}{t}\,dt = t\ln t - \int 1\,dt = t\ln t - t + C.
Portanto uma primitiva de \ln t é t\ln t - t. Avaliando a integral definida:
F(x)=\int_{1}^{x}\ln(t)\,dt = \Big[ t\ln t - t \Big]_{t=1}^{t=x} = x\ln x - x -\big(1\cdot\ln 1 - 1\big).
Como \ln 1=0, isso dá
F(x)=x\ln x - x + 1.

Passo 5

Agora diferenciamos F(x)=x\ln x - x + 1. Para a derivada do termo x\ln x usamos a regra do produto: se u=x e v=\ln x, então
(x\ln x)' = u'v + uv' = 1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x} = \ln x + 1.
Derivando os demais termos: (-x)'=-1 e 1'\!=0. Somando:
F'(x) = (\ln x + 1) - 1 + 0 = \ln x.
Isso confirma o resultado obtido pelo Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 6

Para a segunda derivada, derivamos F'(x)=\ln x. A derivada de \ln x (para x>0) é
F''(x) = \frac{1}{x}.
Note que essa derivada está bem definida em ]1,+\infty[, que é o domínio de F.

Resposta

F'(x)=\ln(x)
F''(x)=\dfrac{1}{x}

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