Exercício 3. Calcule as derivadas das seguintes funções:
dada por
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que se pede: calcular as derivadas de
. Vou determinar explicitamente
e
. As informações relevantes que temos:
- O integrando é
. - O intervalo de definição de
é , onde é contínua e bem definida. - A integral é a integral definida de
até .
Passo 2
Usando uma propriedade básica de integrais (Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1): se
é contínua numa vizinhança do intervalo entre
e
, então a função definida por
é diferenciável e vale
Aqui
é contínua em
, logo podemos aplicar diretamente e obter
Passo 3
Vou mostrar uma maneira alternativa (útil para verificar) encontrando a primitiva de
e depois diferenciando a expressão obtida. Para
usamos integração por partes. A fórmula de integração por partes é
onde
e
são escolhas convenientes. Escolhendo
e
, obtemos:
-
, -
.
Passo 4
Aplicando integração por partes:
Portanto uma primitiva de
é
. Avaliando a integral definida:
Como
, isso dá
Passo 5
Agora diferenciamos
. Para a derivada do termo
usamos a regra do produto: se
e
, então
Derivando os demais termos:
e
. Somando:
Isso confirma o resultado obtido pelo Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 6
Para a segunda derivada, derivamos
. A derivada de
(para
) é
Note que essa derivada está bem definida em
, que é o domínio de
.