Exercício 2. Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(a)
\int(3 x+1) d x
(b)
\int\left(x^{2}+x+1\right) d x
(c) \int \frac{1}{x^{2}} d x
(d) \int \sqrt[3]{x} d x
(e) \int\left(3 \sqrt[7]{x^{2}}+\cos (x)\right) d x
(f) \int 3^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular seis integrais indefinidas (ou antiderivadas). As expressões que precisamos integrar são:
  • (a) \int(3x+1)\,dx.
  • (b) \int\bigl(x^{2}+x+1\bigr)\,dx.
  • (c) \int \frac{1}{x^{2}}\,dx.
  • (d) \int \sqrt[3]{x}\,dx.
  • (e) \int\bigl(3\sqrt[7]{x^{2}}+\cos(x)\bigr)\,dx.
  • (f) \int 3^{x}\,dx.
Lembrete importante: cada integral indefinida representa uma família de funções que diferem por uma constante; portanto as respostas terão uma constante de integração C.

Passo 2

Regra da linearidade (ferramenta que vamos usar em quase todas as integrais).
A integral de soma é a soma das integrais e constantes podem sair da integral. Em notação:
\int\bigl(a\,f(x)+b\,g(x)\bigr)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx,
onde a e b são constantes e f,g são funções. Isso significa que podemos separar termos e integrar cada um de forma independente — muito útil para polinômios e soma com funções trigonométricas.

Passo 3

Regra da potência (a principal usada aqui).
Seja n um número real diferente de -1. A regra diz:
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
O que isso significa: para integrar uma potência x^{n}, aumente o expoente em 1 (ficando n+1) e divida pelo novo expoente. A condição n\neq -1 aparece porque se n=-1 a fórmula daria divisão por zero; nesse caso a integral é \int x^{-1}\,dx=\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C.
Vou aplicar essa regra sempre que possível, lembrando de reescrever radicais como potências racionais (por exemplo \sqrt[3]{x}=x^{1/3}).

Passo 4

Resolver (a) \int(3x+1)\,dx.
Usando linearidade, separamos:
\int(3x+1)\,dx = \int 3x\,dx + \int 1\,dx.
Tirar a constante 3 para fora da integral:
= 3\int x\,dx + \int 1\,dx.
Aplicando a regra da potência em \int x\,dx (aqui x = x^{1}, então n=1):
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}+C.
E \int 1\,dx = x + C. Juntando e usando uma única constante:
\int(3x+1)\,dx = 3\cdot\frac{x^{2}}{2} + x + C = \frac{3x^{2}}{2}+x+C.

Passo 5

Resolver (b) \int\bigl(x^{2}+x+1\bigr)\,dx.
Separe por linearidade:
\int\bigl(x^{2}+x+1\bigr)\,dx = \int x^{2}\,dx + \int x\,dx + \int 1\,dx.
Aplicando a regra da potência para cada termo:
  • \int x^{2}\,dx = \dfrac{x^{3}}{3} porque n=2 e x^{n+1}/(n+1)=x^{3}/3.
  • \int x\,dx = \dfrac{x^{2}}{2} (já visto).
  • \int 1\,dx = x.
    Somando:
\int\bigl(x^{2}+x+1\bigr)\,dx = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + x + C.

Passo 6

Resolver (c) \int \frac{1}{x^{2}}\,dx.
Primeiro reescrever como potência: \dfrac{1}{x^{2}}=x^{-2}. Agora aplicar a regra da potência com n=-2 (lembre que isso é permitido pois n\neq -1):
\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{x^{-1}}{-1}+C = -x^{-1}+C.
Reescrevendo em forma de fracção:
\int \frac{1}{x^{2}}\,dx = -\frac{1}{x} + C.

Passo 7

Resolver (d) \int \sqrt[3]{x}\,dx.
Reescrever o radical como potência: \sqrt[3]{x}=x^{1/3}. Aplicando a regra da potência com n=\tfrac{1}{3}:
\int x^{1/3}\,dx = \frac{x^{1/3+1}}{1/3+1}+C = \frac{x^{4/3}}{4/3}+C.
Dividir por 4/3 é multiplicar por 3/4, então:
\int \sqrt[3]{x}\,dx = \frac{3}{4}\,x^{4/3} + C.

Passo 8

Resolver (e) \int\bigl(3\sqrt[7]{x^{2}}+\cos(x)\bigr)\,dx.
Primeiro reescrever \sqrt[7]{x^{2}}=(x^{2})^{1/7}=x^{2/7}. Então o integrando é 3x^{2/7}+\cos(x). Pela linearidade:
\int\bigl(3x^{2/7}+\cos(x)\bigr)\,dx = 3\int x^{2/7}\,dx + \int \cos(x)\,dx.

Passo 9

Continuando (e): integrar 3\int x^{2/7}\,dx.
Aplicando a regra da potência com n=\tfrac{2}{7}:
\int x^{2/7}\,dx = \frac{x^{2/7+1}}{2/7+1} + C = \frac{x^{9/7}}{9/7}+C = \frac{7}{9}x^{9/7}+C.
Multiplicando pelo 3:
3\int x^{2/7}\,dx = 3\cdot\frac{7}{9}x^{9/7} = \frac{21}{9}x^{9/7} = \frac{7}{3}x^{9/7}.

Passo 10

Continuando (e): integrar \int \cos(x)\,dx.
A integral da função cosseno é a função seno:
\int \cos(x)\,dx = \sin(x) + C.
Somando os dois resultados e unificando a constante:
\int\bigl(3\sqrt[7]{x^{2}}+\cos(x)\bigr)\,dx = \frac{7}{3}x^{9/7} + \sin(x) + C.

Passo 11

Resolver (f) \int 3^{x}\,dx.
Regra para exponenciais de base a>0, a\neq 1: a derivada de a^{x} é a^{x}\ln a. Assim a integral é a inversa dessa derivada:
\int a^{x}\,dx = \frac{a^{x}}{\ln a} + C.
Aqui a=3, então
\int 3^{x}\,dx = \frac{3^{x}}{\ln 3} + C.
Observação: \ln 3 é o logaritmo natural de 3 (base e), que aparece por causa da derivada da função exponencial com base a.

Resposta

(a) \dfrac{3x^{2}}{2}+x+C
(b) \dfrac{x^{3}}{3}+\dfrac{x^{2}}{2}+x+C
(c) -\dfrac{1}{x}+C
(d) \dfrac{3}{4}x^{4/3}+C
(e) \dfrac{7}{3}x^{9/7}+\sin(x)+C
(f) \dfrac{3^{x}}{\ln 3}+C

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