Exercício 2. Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Passo 1
O enunciado pede para calcular seis integrais indefinidas (ou antiderivadas). As expressões que precisamos integrar são:
- (a)
. - (b)
. - (c)
. - (d)
. - (e)
. - (f)
.
Lembrete importante: cada integral indefinida representa uma família de funções que diferem por uma constante; portanto as respostas terão uma constante de integração
.
Passo 2
Regra da linearidade (ferramenta que vamos usar em quase todas as integrais).
A integral de soma é a soma das integrais e constantes podem sair da integral. Em notação:
onde
e
são constantes e
são funções. Isso significa que podemos separar termos e integrar cada um de forma independente — muito útil para polinômios e soma com funções trigonométricas.
Passo 3
Regra da potência (a principal usada aqui).
Seja
um número real diferente de
. A regra diz:
O que isso significa: para integrar uma potência
, aumente o expoente em 1 (ficando
) e divida pelo novo expoente. A condição
aparece porque se
a fórmula daria divisão por zero; nesse caso a integral é
.
Vou aplicar essa regra sempre que possível, lembrando de reescrever radicais como potências racionais (por exemplo
).
Passo 4
Resolver (a)
.
Usando linearidade, separamos:
Tirar a constante
para fora da integral:
Aplicando a regra da potência em
(aqui
, então
):
E
. Juntando e usando uma única constante:
Passo 5
Resolver (b)
.
Separe por linearidade:
Aplicando a regra da potência para cada termo:
-
porque e . -
(já visto). -
.
Somando:
Passo 6
Resolver (c)
.
Primeiro reescrever como potência:
. Agora aplicar a regra da potência com
(lembre que isso é permitido pois
):
Reescrevendo em forma de fracção:
Passo 7
Resolver (d)
.
Reescrever o radical como potência:
. Aplicando a regra da potência com
:
Dividir por
é multiplicar por
, então:
Passo 8
Resolver (e)
.
Primeiro reescrever
. Então o integrando é
. Pela linearidade:
Passo 9
Continuando (e): integrar
.
Aplicando a regra da potência com
:
Multiplicando pelo
:
Passo 10
Continuando (e): integrar
.
A integral da função cosseno é a função seno:
Somando os dois resultados e unificando a constante:
Passo 11
Resolver (f)
.
Regra para exponenciais de base
,
: a derivada de
é
. Assim a integral é a inversa dessa derivada:
Aqui
, então
Observação:
é o logaritmo natural de
(base
), que aparece por causa da derivada da função exponencial com base
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)