Exercício 2. Calcule as seguintes integrais:
\int\left(x^{2}+x+1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(x^{2}+x+1\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A integranda é o polinômio \,x^{2}+x+1.
  • É uma integral indefinida, então a resposta deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Regra que vou usar: a integral é linear. Isso significa que a integral da soma é a soma das integrais e constantes podem sair:
\int\big(f(x)+g(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx, \qquad \int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx,
onde a é constante. Aqui vou separar a integral termo a termo:
\int\left(x^{2}+x+1\right)\,dx=\int x^{2}\,dx+\int x\,dx+\int 1\,dx.

Passo 3

Fórmula básica (regra da potência para integrais): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Explicando: n é o expoente da potência; a fórmula vem do fato de que, ao diferenciar \dfrac{x^{n+1}}{n+1}, obtém-se x^{n}. A exceção n=-1 corresponde a \int x^{-1}\,dx=\int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C.

Passo 4

Aplicando a regra da potência em cada termo:
  • Para \int x^{2}\,dx usamos n=2:
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{2+1}}{2+1}=\frac{x^{3}}{3}.
  • Para \int x\,dx usamos n=1:
\int x\,dx=\frac{x^{1+1}}{1+1}=\frac{x^{2}}{2}.
  • Para \int 1\,dx vemos 1=x^{0} com n=0:
\int 1\,dx=\frac{x^{0+1}}{0+1}=x.

Passo 5

Somando os resultados e acrescentando a constante de integração C:
\int\left(x^{2}+x+1\right)\,dx=\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+x+C.

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): derivando o resultado obtido deve voltar a integranda. Diferenciando termo a termo:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+x+C\right)=x^{2}+x+1,
logo está correto. Boa — você já pode aplicar isso direto em polinômios semelhantes!

Resposta

\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+x+C

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