[4] (3,0 pontos) Calcule a integral
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral iterada
Informações úteis dadas:
- A variável de integração mais interna é
, com limite inferior e limite superior . - A variável do meio é
, com limites (inferior) e (superior). - A variável mais externa é
, com limites e . - O integrando é
.
O que se pede: calcular o valor numérico dessa integral iterada.
Passo 2
Primeiro passo prático: integrar em
(a integral mais interna). Lembre que, ao integrar em
,
e
são constantes. A primitiva de
é
. Assim,
Avaliaremos o colchete:
Multiplicando por
obtemos o resultado da integração em
:
Pequena explicação didática: integrar em
mantém
e
fixos; por isso tratamos
como constante multiplicativa ao integrar
.
Passo 3
Agora a integral fica
Calcule a integral em
. A primitiva de
é
. Então
Simplificando as potências:
Portanto
Substituindo de volta e incluindo o fator
:
Multiplicando
por cada termo:
Passo 4
Agora resta integrar em
de
a
:
As primitivas são
. Assim
Subtraindo e multiplicando por
: