[4] (3,0 pontos) Calcule a integral \int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{\sqrt{x}} \int_{0}^{x y} x y z d z d y d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{x^{2}}^{\sqrt{x}}\int_{0}^{x y} x\,y\,z \,dz\,dy\,dx.
Informações úteis dadas:
  • A variável de integração mais interna é z, com limite inferior 0 e limite superior x y.
  • A variável do meio é y, com limites y=x^{2} (inferior) e y=\sqrt{x} (superior).
  • A variável mais externa é x, com limites x=0 e x=1.
  • O integrando é x\,y\,z.
O que se pede: calcular o valor numérico dessa integral iterada.

Passo 2

Primeiro passo prático: integrar em z (a integral mais interna). Lembre que, ao integrar em z, x e y são constantes. A primitiva de z é z^{2}/2. Assim,
\int_{0}^{x y} x\,y\,z \,dz = x\,y \int_{0}^{x y} z\,dz = x\,y \left[\frac{z^{2}}{2}\right]_{0}^{x y}.
Avaliaremos o colchete:
\left[\frac{z^{2}}{2}\right]_{0}^{x y} = \frac{(x y)^{2}}{2} - 0 = \frac{x^{2}y^{2}}{2}.
Multiplicando por x\,y obtemos o resultado da integração em z:
\int_{0}^{x y} x\,y\,z \,dz = x\,y\cdot\frac{x^{2}y^{2}}{2} = \frac{x^{3}y^{3}}{2}.
Pequena explicação didática: integrar em z mantém x e y fixos; por isso tratamos x\,y como constante multiplicativa ao integrar z.

Passo 3

Agora a integral fica
\int_{0}^{1}\int_{x^{2}}^{\sqrt{x}} \frac{x^{3}y^{3}}{2}\,dy\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} x^{3}\left(\int_{x^{2}}^{\sqrt{x}} y^{3}\,dy\right)dx.
Calcule a integral em y. A primitiva de y^{3} é y^{4}/4. Então
\int_{x^{2}}^{\sqrt{x}} y^{3}\,dy = \left[\frac{y^{4}}{4}\right]_{y=x^{2}}^{y=\sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x})^{4}}{4} - \frac{(x^{2})^{4}}{4}.
Simplificando as potências:
(\sqrt{x})^{4} = (x^{1/2})^{4} = x^{2},\qquad (x^{2})^{4} = x^{8}.
Portanto
\int_{x^{2}}^{\sqrt{x}} y^{3}\,dy = \frac{x^{2}-x^{8}}{4}.
Substituindo de volta e incluindo o fator \tfrac{1}{2}:
\frac{1}{2}\,x^{3}\cdot\frac{x^{2}-x^{8}}{4} = \frac{1}{8}\,x^{3}(x^{2}-x^{8}).
Multiplicando x^{3} por cada termo:
\frac{1}{8}\,x^{3}(x^{2}-x^{8}) = \frac{1}{8}\,(x^{5}-x^{11}).

Passo 4

Agora resta integrar em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\frac{1}{8}(x^{5}-x^{11})\,dx = \frac{1}{8}\left(\int_{0}^{1} x^{5}\,dx - \int_{0}^{1} x^{11}\,dx\right).
As primitivas são \int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1). Assim
\int_{0}^{1} x^{5}\,dx = \left[\frac{x^{6}}{6}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{6}, \qquad \int_{0}^{1} x^{11}\,dx = \left[\frac{x^{12}}{12}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{12}.
Subtraindo e multiplicando por \tfrac{1}{8}:
\frac{1}{8}\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{12}\right) = \frac{1}{8}\cdot\frac{1}{12} = \frac{1}{96}.

Resposta

\dfrac{1}{96}

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