Exercício 2. Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Trata‑se de uma integral indefinida (logo a resposta deve conter a constante de integração
). - Observação importante:
exige , portanto a primitiva é válida em intervalos que não contenham .
Passo 2
Primeiro passo prático: reescrever a potência negativa de forma que possamos aplicar a regra de potência. Repare que
Assim a integranda fica mais simples de manipular:
Passo 3
Usar a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais. Ou seja, para quaisquer funções
e
:
Aplicando aqui:
Passo 4
Apresentar a regra de potência para primitivação (a ferramenta principal aqui):
Regra: para qualquer real ,
Regra: para qualquer real
onde
é a constante de integração. Explicando:
é o expoente de
; a primitiva aumenta o expoente em
(para
) e divide pelo novo expoente. O caso
é especial porque daria divisão por zero; nesse caso a primitiva é
.
Exemplo rápido para fixar:
porque aqui
e
.
Passo 5
Aplicar a regra de potência termo a termo.
Para o primeiro termo,
. Com
:
Para o segundo termo,
. Com
:
Simplificando
.
Passo 6
Somando as primitivas dos dois termos e adicionando a constante de integração
, obtemos
Passo 7
Verificação rápida (sempre bom para a prova): derivando a resposta deve voltar à integranda. Calcular
que é exatamente a integranda
. Logo a primitiva está correta. Força aí — essa técnica (reescrever potências, aplicar linearidade e a regra de potência) resolve muitas integrais simples rápidas na prova!