Exercício 2. Calcule as seguintes integrais:
\int\left(x+\frac{1}{x^{3}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(x+\frac{1}{x^{3}}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é x+\dfrac{1}{x^{3}}.
  • Trata‑se de uma integral indefinida (logo a resposta deve conter a constante de integração C).
  • Observação importante: \dfrac{1}{x^{3}} exige x\neq0, portanto a primitiva é válida em intervalos que não contenham 0.

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrever a potência negativa de forma que possamos aplicar a regra de potência. Repare que
\frac{1}{x^{3}} = x^{-3}.
Assim a integranda fica mais simples de manipular:
x+\frac{1}{x^{3}} = x + x^{-3}.

Passo 3

Usar a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais. Ou seja, para quaisquer funções f e g:
\int (f(x)+g(x))\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx.
Aplicando aqui:
\int\left(x + x^{-3}\right)\,dx = \int x\,dx + \int x^{-3}\,dx.

Passo 4

Apresentar a regra de potência para primitivação (a ferramenta principal aqui):
Regra: para qualquer real n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. Explicando: n é o expoente de x; a primitiva aumenta o expoente em 1 (para n+1) e divide pelo novo expoente. O caso n=-1 é especial porque daria divisão por zero; nesse caso a primitiva é \ln|x|.
Exemplo rápido para fixar: \int x^{2}\,dx = \dfrac{x^{3}}{3}+C porque aqui n=2 e \dfrac{x^{2+1}}{2+1}=\dfrac{x^{3}}{3}.

Passo 5

Aplicar a regra de potência termo a termo.
Para o primeiro termo, x = x^{1}. Com n=1:
\int x\,dx = \int x^{1}\,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^{2}}{2}.
Para o segundo termo, x^{-3}. Com n=-3:
\int x^{-3}\,dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} = \frac{x^{-2}}{-2}.
Simplificando \dfrac{x^{-2}}{-2} = -\dfrac{1}{2}x^{-2} = -\dfrac{1}{2x^{2}}.

Passo 6

Somando as primitivas dos dois termos e adicionando a constante de integração C, obtemos
\int\left(x+\frac{1}{x^{3}}\right)\,dx = \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2x^{2}} + C.

Passo 7

Verificação rápida (sempre bom para a prova): derivando a resposta deve voltar à integranda. Calcular
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2x^{2}}\right) = x - \frac{1}{2}\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{-2}\big) = x - \frac{1}{2}\cdot(-2)x^{-3} = x + x^{-3},
que é exatamente a integranda \;x+\dfrac{1}{x^{3}}. Logo a primitiva está correta. Força aí — essa técnica (reescrever potências, aplicar linearidade e a regra de potência) resolve muitas integrais simples rápidas na prova!

Resposta

\frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{2x^{2}}+C

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