Exercício 5. Calcule usando a regra da substituição
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações fornecidas:
- A variável de integração é
. - A função integranda é
. - Não há limites (é integral indefinida), então devemos incluir a constante de integração
.
Passo 2
Idéia da regra da substituição (explicação didática):
- Quando a integral contém uma função composta
junto com a sua derivada (ou um múltiplo dela), é conveniente usar a substituição
pois a integral em
se transforma numa integral mais simples em
.
- Aqui é útil procurar uma parte da integranda cuja derivada apareça multiplicando-a. Observando
e , lembramos que
Portanto faz sentido tentar
.
Passo 3
Calcular
a partir da substituição
:
Isolando
obtemos
Passo 4
Fazer a substituição na integral. Substituindo
e
, temos
Passo 5
Integrar em
. A primitiva de
em relação a
é
. Logo
Passo 6
Voltar para a variável
fazendo a substituição inversa
. Assim a primitiva encontrada em termos de
é
Verificação rápida (útil na prova): derivando
obtém-se
que é exatamente a integranda, então a primitiva está correta.