Exercício 5. Calcule usando a regra da substituição
\int \operatorname{sec} ^{2}(2 x) \tan (2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \operatorname{sec}^{2}(2x)\,\tan(2x)\,dx.
Informações fornecidas:
  • A variável de integração é x.
  • A função integranda é \operatorname{sec}^{2}(2x)\,\tan(2x).
  • Não há limites (é integral indefinida), então devemos incluir a constante de integração C.

Passo 2

Idéia da regra da substituição (explicação didática):
  • Quando a integral contém uma função composta g(x) junto com a sua derivada g'(x) (ou um múltiplo dela), é conveniente usar a substituição
u=g(x),\qquad du=g'(x)\,dx,
pois a integral em x se transforma numa integral mais simples em u.
  • Aqui é útil procurar uma parte da integranda cuja derivada apareça multiplicando-a. Observando \tan(2x) e \operatorname{sec}^{2}(2x), lembramos que
\frac{d}{dx}\tan(2x)=2\operatorname{sec}^{2}(2x).
Portanto faz sentido tentar u=\tan(2x).

Passo 3

Calcular du a partir da substituição u=\tan(2x):
\frac{du}{dx}=2\operatorname{sec}^{2}(2x)\quad\Rightarrow\quad du=2\operatorname{sec}^{2}(2x)\,dx.
Isolando \operatorname{sec}^{2}(2x)\,dx obtemos
\operatorname{sec}^{2}(2x)\,dx=\frac{1}{2}\,du.

Passo 4

Fazer a substituição na integral. Substituindo u=\tan(2x) e \operatorname{sec}^{2}(2x)\,dx=\dfrac{1}{2}\,du, temos
\int \operatorname{sec}^{2}(2x)\,\tan(2x)\,dx = \int u\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int u\,du.

Passo 5

Integrar em u. A primitiva de u em relação a u é \dfrac{u^{2}}{2}. Logo
\frac{1}{2}\int u\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{2}}{2} + C = \frac{u^{2}}{4} + C.

Passo 6

Voltar para a variável x fazendo a substituição inversa u=\tan(2x). Assim a primitiva encontrada em termos de x é
\frac{\tan^{2}(2x)}{4} + C.
Verificação rápida (útil na prova): derivando \dfrac{\tan^{2}(2x)}{4} obtém-se
\frac{d}{dx}\left(\frac{\tan^{2}(2x)}{4}\right) = \frac{1}{4}\cdot 2\tan(2x)\cdot\frac{d}{dx}\tan(2x) = \frac{1}{2}\tan(2x)\cdot 2\operatorname{sec}^{2}(2x) = \tan(2x)\operatorname{sec}^{2}(2x),
que é exatamente a integranda, então a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{\tan^{2}(2x)}{4}+C

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