Exercício 8.1 Calcule a seguintes integrais de superfície
\iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) d Sonde S é a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície S que é a esfera de raio R definida por
x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}
e pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dS.
O conteúdo necessário envolve o conceito de integral de superfície e a parametrização em coordenadas esféricas, explorando também a simetria da esfera.

Passo 2

Parametrizamos a esfera por
\begin{cases} x = R\sin\varphi\cos\theta,\\\ y = R\sin\varphi\sin\theta,\\\ z = R\cos\varphi, \end{cases}
com \varphi\in[0,\pi] e \theta\in[0,2\pi]. O elemento de área é
dS = R^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Além disso, na parametrização temos
x^{2}+y^{2} = R^{2}\sin^{2}\varphi.
Logo o integrando fica
(x^{2}+y^{2})\,dS = R^{2}\sin^{2}\varphi \cdot R^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta = R^{4}\sin^{3}\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Agora integramos em \theta de 0 a 2\pi e em \varphi de 0 a \pi:
\iint_{S}(x^{2}+y^{2})\,dS = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi}R^{4}\sin^{3}\varphi\,d\varphi\,d\theta = R^{4} \Bigl(\int_{0}^{2\pi}d\theta\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\varphi\,d\varphi\Bigr).
Sabemos que
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi, \quad \int_{0}^{\pi}\sin^{3}\varphi\,d\varphi = \tfrac{4}{3}.
Portanto
\iint_{S}(x^{2}+y^{2})\,dS = R^{4}\times 2\pi \times \tfrac{4}{3} = \frac{8\pi R^{4}}{3}.

Resposta

\iint_{S}(x^{2}+y^{2})\,dS = \frac{8\pi R^{4}}{3}.

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