Exercício 5. Calcule usando a regra da substituição
\int \operatorname{sec} ^{2}(2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida abaixo:
\int \operatorname{sec}^{2}(2x)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \operatorname{sec}^{2}(2x).
  • Quer-se a primitiva (integração indefinida), ou seja uma função F(x) tal que F'(x)=\operatorname{sec}^{2}(2x), mais uma constante de integração C.

Passo 2

Ideia da técnica que vamos usar: quando a integral contém uma função composta do tipo f(ax) multiplicada por algo que vem do derivado de ax, é útil fazer uma mudança de variável (substituição) para simplificar a expressão. Aqui a parte interna da função é 2x, então vamos tentar substituir essa expressão por uma nova variável simples.

Passo 3

Escolhemos a substituição
u = 2x.
Agora calculamos a diferencial du. Derivando ambos os lados em relação a x obtemos
\frac{du}{dx} = 2 \quad\Rightarrow\quad du = 2\,dx.
Isolando dx temos
dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 4

Substituímos u e dx na integral original. Como \operatorname{sec}^{2}(2x)=\operatorname{sec}^{2}(u) e dx=\dfrac{1}{2}\,du, obtemos
\int \operatorname{sec}^{2}(2x)\,dx = \int \operatorname{sec}^{2}(u)\cdot\frac{1}{2}\,du.
Fatorando a constante fora da integral:
\int \operatorname{sec}^{2}(2x)\,dx = \frac{1}{2}\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du.

Passo 5

Agora integramos \operatorname{sec}^{2}(u). Lembrete importante (fórmula que usamos): a derivada da função \tan(u) é \operatorname{sec}^{2}(u), isto é,
\frac{d}{du}\big(\tan(u)\big)=\operatorname{sec}^{2}(u).
Portanto uma primitiva de \operatorname{sec}^{2}(u) é \tan(u). Assim
\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du = \tan(u) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à nossa integral com o fator \tfrac{1}{2}:
\frac{1}{2}\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du = \frac{1}{2}\big(\tan(u)+C\big).
Como C é uma constante arbitrária, \tfrac{1}{2}C é apenas outra constante que podemos chamar também de C. Substituindo u=2x de volta, obtemos a primitiva em termos de x:
\frac{1}{2}\tan(u)+C = \frac{1}{2}\tan(2x)+C.

Passo 7

Verificação rápida por derivação (confirmação): derivando \dfrac{1}{2}\tan(2x) usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan(2x)\right)=\frac{1}{2}\cdot \operatorname{sec}^{2}(2x)\cdot 2 = \operatorname{sec}^{2}(2x),
que é exatamente a função integranda. Logo a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{1}{2}\tan(2x)+C

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