Exercício 5. Calcule usando a regra da substituição
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida abaixo:
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Quer-se a primitiva (integração indefinida), ou seja uma função
tal que , mais uma constante de integração .
Passo 2
Ideia da técnica que vamos usar: quando a integral contém uma função composta do tipo
multiplicada por algo que vem do derivado de
, é útil fazer uma mudança de variável (substituição) para simplificar a expressão. Aqui a parte interna da função é
, então vamos tentar substituir essa expressão por uma nova variável simples.
Passo 3
Escolhemos a substituição
Agora calculamos a diferencial
. Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
Isolando
temos
Passo 4
Substituímos
e
na integral original. Como
e
, obtemos
Fatorando a constante fora da integral:
Passo 5
Agora integramos
. Lembrete importante (fórmula que usamos): a derivada da função
é
, isto é,
Portanto uma primitiva de
é
. Assim
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltando à nossa integral com o fator
:
Como
é uma constante arbitrária,
é apenas outra constante que podemos chamar também de
. Substituindo
de volta, obtemos a primitiva em termos de
:
Passo 7
Verificação rápida por derivação (confirmação): derivando
usando a regra da cadeia:
que é exatamente a função integranda. Logo a primitiva está correta.