Exercício 6. Calcule as integrais usando integração por partes e as seguintes escolhas de f e
:
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos.
- Pede para calcular a integral
. - Foi dada a escolha para integração por partes:
e . - Observação importante:
está definida para , então a antiderivada que encontraremos vale para (podemos depois escrever com se quisermos a forma válida para , mas aqui seguiremos a indicação ).
Passo 2
Lembrando a fórmula de integração por partes e o significado das funções.
A fórmula de integração por partes é
onde:
-
é uma função escolhida cuja derivada seja mais simples; -
é a outra parte, e é uma primitiva (antiderivada) de .
Explicando de forma bem direta: transforma uma integral potencialmente difícil em outra que costuma ser mais simples, trocando uma integral por uma expressãomenos outra integral.
Passo 3
Calcular
e uma primitiva
de
.
-
. Então a derivada é
-
. Uma primitiva de é
Aqui calculei
integrando termo a termo:
(regra potência:
para
).
Passo 4
Aplicar a fórmula de integração por partes substituindo
.
Usando
temos
Agora simplificar o integrando da segunda integral:
Logo
Fatorando a constante
fora da integral:
Calcular
:
Portanto
Multiplicando a constante:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Verificação rápida (derivando o resultado para checar).
Derivar a expressão obtida e verificar que dá o integrando
.
Seja
Derivando termo a termo: para o primeiro termo usamos a regra do produto (derivada de
é
, e derivada de
é
):
O segundo termo tem derivada
Somando as duas derivadas:
Confere: a derivada de
é exatamente
, logo a primitiva está correta.
Passo 6
Comentário didático e motivacional rápido.
- Por que escolhemos
e ? Porque derivar simplifica para , e integrar é direto; essa escolha reduz a integral original a outra integral simples. Uma regra prática para escolher é preferir funções que ficam mais simples ao derivar (logaritmos, arctrigonométricas) enquanto deve ser fácil de integrar (polinômios, exponenciais simples). - Boa! Esse tipo de integral aparece bastante e a técnica de partes é uma das mais úteis. Você consegue aplicar esse mesmo processo se tivesse
— aí derivaria e integraria , e repetiria partes se necessário.