Exercício 6. Calcule as integrais usando integração por partes e as seguintes escolhas de f e \mathrm{g}^{\'} :
\int x \ln (x) d x, \quad f(x)=\ln (x), g^{\prime}(x)=x

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos.
  • Pede para calcular a integral \displaystyle \int x\ln(x)\,dx.
  • Foi dada a escolha para integração por partes: f(x)=\ln(x) e g'(x)=x.
  • Observação importante: \ln(x) está definida para x>0, então a antiderivada que encontraremos vale para x>0 (podemos depois escrever com \ln|x| se quisermos a forma válida para x\neq0, mas aqui seguiremos a indicação f(x)=\ln(x)).

Passo 2

Lembrando a fórmula de integração por partes e o significado das funções.
A fórmula de integração por partes é
\int f(x)\,g'(x)\,dx = f(x)\,g(x) - \int f'(x)\,g(x)\,dx,
onde:
  • f(x) é uma função escolhida cuja derivada f'(x) seja mais simples;
  • g'(x) é a outra parte, e g(x) é uma primitiva (antiderivada) de g'(x).
    Explicando de forma bem direta: transforma uma integral potencialmente difícil em outra que costuma ser mais simples, trocando uma integral por uma expressão f\cdot g menos outra integral.

Passo 3

Calcular f'(x) e uma primitiva g(x) de g'(x).
  • f(x)=\ln(x). Então a derivada é
f'(x)=\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}.
  • g'(x)=x. Uma primitiva de x é
g(x)=\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}.
Aqui calculei g(x) integrando termo a termo: \int x\,dx = x^{2}/2 (regra potência: \int x^{n}\,dx=x^{n+1}/(n+1) para n\neq-1).

Passo 4

Aplicar a fórmula de integração por partes substituindo f,f',g,g'.
Usando
\int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\,dx,
temos
\int x\ln(x)\,dx = \ln(x)\cdot\frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{x}\cdot\frac{x^{2}}{2}\,dx.
Agora simplificar o integrando da segunda integral:
\frac{1}{x}\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{x}{2}.
Logo
\int x\ln(x)\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln(x) - \int \frac{x}{2}\,dx.
Fatorando a constante 1/2 fora da integral:
\int x\ln(x)\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln(x) - \frac{1}{2}\int x\,dx.
Calcular \int x\,dx:
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}.
Portanto
\int x\ln(x)\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln(x) - \frac{1}{2}\cdot\frac{x^{2}}{2} + C.
Multiplicando a constante:
\int x\ln(x)\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln(x) - \frac{x^{2}}{4} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Verificação rápida (derivando o resultado para checar).
Derivar a expressão obtida e verificar que dá o integrando x\ln(x).
Seja
F(x)=\frac{x^{2}}{2}\ln(x)-\frac{x^{2}}{4}.
Derivando termo a termo: para o primeiro termo usamos a regra do produto (derivada de \frac{x^{2}}{2} é x, e derivada de \ln(x) é 1/x):
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{2}}{2}\ln(x)\right) = \left(\frac{d}{dx}\frac{x^{2}}{2}\right)\ln(x) + \frac{x^{2}}{2}\left(\frac{d}{dx}\ln(x)\right) = x\ln(x) + \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x}.
O segundo termo tem derivada
\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{x^{2}}{4}\right) = -\frac{2x}{4} = -\frac{x}{2}.
Somando as duas derivadas:
x\ln(x) + \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x} - \frac{x}{2} = x\ln(x) + \frac{x}{2} - \frac{x}{2} = x\ln(x).
Confere: a derivada de F(x) é exatamente x\ln(x), logo a primitiva está correta.

Passo 6

Comentário didático e motivacional rápido.
  • Por que escolhemos f=\ln(x) e g'=x? Porque derivar \ln(x) simplifica para 1/x, e integrar x é direto; essa escolha reduz a integral original a outra integral simples. Uma regra prática para escolher f é preferir funções que ficam mais simples ao derivar (logaritmos, arctrigonométricas) enquanto g' deve ser fácil de integrar (polinômios, exponenciais simples).
  • Boa! Esse tipo de integral aparece bastante e a técnica de partes é uma das mais úteis. Você consegue aplicar esse mesmo processo se tivesse \int x(\ln x)^2 dx — aí derivaria (\ln x)^2 e integraria x, e repetiria partes se necessário.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{2}\ln(x)-\frac{x^{2}}{4}+C

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