Exercício 6 Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x}{\left(x^{3}+10\right)^{\frac{1}{3}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando x tende ao infinito:
\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{\left(x^{3}+10\right)^{\frac{1}{3}}}.
Informações dadas: a variável x cresce sem limite (vai para +\infty) e a expressão é a razão entre x e a raiz cúbica de x^{3}+10. O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão usando uma identidade útil: podemos fatorar x^{3} dentro da raiz cúbica. Primeiro escrevo a parte do denominador como produto:
\left(x^{3}+10\right)^{\frac{1}{3}}=\left(x^{3}\left(1+\frac{10}{x^{3}}\right)\right)^{\frac{1}{3}}.
Aqui usei que x^{3}+10=x^{3}\bigl(1+10/x^{3}\bigr). Isso é só reescrever a soma fatorando x^{3}.

Passo 3

Agora aplico a propriedade da potência (a raiz cúbica de um produto é o produto das raízes cúbicas) e observo que, para x>0, \bigl(x^{3}\bigr)^{1/3}=x. Como estamos fazendo x\to+\infty, podemos assumir x>0 para x suficientemente grande. Assim:
\left(x^{3}+10\right)^{\frac{1}{3}}=x\left(1+\frac{10}{x^{3}}\right)^{\frac{1}{3}}.
Substituindo no quociente original:
\frac{x}{\left(x^{3}+10\right)^{\frac{1}{3}}}=\frac{x}{x\left(1+\frac{10}{x^{3}}\right)^{\frac{1}{3}}}=\frac{1}{\left(1+\frac{10}{x^{3}}\right)^{\frac{1}{3}}}.
A simplificação ficou bem clara: cancelamos x no numerador e no fator externo do denominador.

Passo 4

Agora analisamos o comportamento quando x\to\infty. Observe que
\frac{10}{x^{3}}\longrightarrow 0\quad\text{quando}\quad x\to\infty,
pois o denominador cresce muito mais rápido que o numerador (potência de x domina constante). Logo o termo dentro da raiz cúbica tende a 1:
1+\frac{10}{x^{3}}\longrightarrow 1.

Passo 5

Usamos que a função t\mapsto t^{1/3} (raiz cúbica) é contínua em todo \mathbb{R}. Pela continuidade, se t(x)\to 1 então t(x)^{1/3}\to 1^{1/3}=1. Aplicando isso ao nosso caso,
\left(1+\frac{10}{x^{3}}\right)^{\frac{1}{3}}\longrightarrow 1.
Portanto, a expressão simplificada tem limite
\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{\left(1+\frac{10}{x^{3}}\right)^{\frac{1}{3}}}=\frac{1}{1}=1.

Passo 6

Comentário final de verificação (coisa de amigo): outra forma de ver é dividir numerador e denominador por x ou por x^{1} de modo análogo; dá a mesma simplificação \bigl(1+10/x^{3}\bigr)^{-1/3}. Também vale lembrar que a escolha da raiz cúbica foi conveniente porque é uma raiz ímpar: não há ambiguidade de sinal para x^{3} quando x é positivo, e para x\to+\infty isso está garantido.

Resposta

\;1\;

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