Exercício 6 Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando
tende ao infinito:
Informações dadas: a variável
cresce sem limite (vai para
) e a expressão é a razão entre
e a raiz cúbica de
. O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão usando uma identidade útil: podemos fatorar
dentro da raiz cúbica. Primeiro escrevo a parte do denominador como produto:
Aqui usei que
. Isso é só reescrever a soma fatorando
.
Passo 3
Agora aplico a propriedade da potência (a raiz cúbica de um produto é o produto das raízes cúbicas) e observo que, para
,
. Como estamos fazendo
, podemos assumir
para
suficientemente grande. Assim:
Substituindo no quociente original:
A simplificação ficou bem clara: cancelamos
no numerador e no fator externo do denominador.
Passo 4
Agora analisamos o comportamento quando
. Observe que
pois o denominador cresce muito mais rápido que o numerador (potência de
domina constante). Logo o termo dentro da raiz cúbica tende a
:
Passo 5
Usamos que a função
(raiz cúbica) é contínua em todo
. Pela continuidade, se
então
. Aplicando isso ao nosso caso,
Portanto, a expressão simplificada tem limite
Passo 6
Comentário final de verificação (coisa de amigo): outra forma de ver é dividir numerador e denominador por
ou por
de modo análogo; dá a mesma simplificação
. Também vale lembrar que a escolha da raiz cúbica foi conveniente porque é uma raiz ímpar: não há ambiguidade de sinal para
quando
é positivo, e para
isso está garantido.