Exercício 5 Um fazendeiro quer construir um galinheiro retangular de modo que um dos lados seja uma parte de um muro. Sabendo-se que o fazendeiro possui 1 metros de tela, dimensionar o galinheiro de modo que este possua a área máxima.

Passo 1

O enunciado pede que dimensionemos um galinheiro retangular usando um muro como um dos lados, sabendo que o fazendeiro possui \,1 metros de tela (ou seja, \,1 metro de cerca disponível). As perguntas implícitas são: quais as dimensões do galinheiro (profundidade e comprimento) de modo que a área seja máxima, e qual é essa área máxima. Informações relevantes dadas:
  • A tela disponível tem comprimento \,L = 1 (metro).
  • O galinheiro é retangular e um de seus lados coincide com um muro (não é necessário cercar esse lado).
  • Vamos chamar de \,x a profundidade (a medida perpendicular ao muro) e de \,y o comprimento paralelo ao muro.
  • Usaremos toda a tela para as três laterais restantes (duas profundidades e um comprimento).

Passo 2

Montando a equação que relaciona as dimensões com a tela disponível. Como apenas três lados precisam de tela (duas vezes a profundidade \,x e uma vez o comprimento \,y), a condição de uso da tela é:
2x + y = L.
Aqui \,L é o total de tela (no nosso caso \,L=1). Explicando: você precisa de \,x de tela para cada um dos dois lados perpendiculares ao muro e de \,y para o lado oposto ao muro.

Passo 3

Expressamos a área do retângulo em função de \,x e \,y. A área é
A = x\,y.
Para eliminar uma variável, usamos a restrição da tela e isolamos \,y:
y = L - 2x.
Isso é só álgebra básica: subtrair 2x dos dois lados da equação da tela.

Passo 4

Substituímos \,y na expressão da área para obter a área como função de uma só variável \,x:
A(x) = x(L - 2x) = Lx - 2x^{2}.
Agora temos uma função quadrática em \,x. Vou explicar o que isso significa: uma função do tipo \,A(x) = ax^{2} + bx + c com coeficiente a<0 é uma parábola voltada para baixo — ela tem um valor máximo (o vértice). Portanto, nossa missão é achar o valor de \,x que dá o vértice dessa parábola.

Passo 5

Escolha do método para encontrar o máximo. Há duas abordagens simples:
  • Método A: cálculo diferencial — derivar \,A(x) e achar onde a derivada é zero.
  • Método B: completar o quadrado — reescrever a parábola na forma -2(x - x_0)^2 + A_{\max} e ler o máximo diretamente.
    Vou usar o método de completar o quadrado porque é puramente algébrico (útil caso você prefira não usar derivadas) e é direto para quadráticas. Depois faço uma checagem rápida usando derivadas para confirmar.

Passo 6

Completar o quadrado em \,A(x)=Lx-2x^{2}. Primeiro fatoramos -2 do termo quadrático e linear:
A(x) = -2\left(x^{2} - \frac{L}{2}x\right).
Agora completamos o quadrado dentro do parêntese. Lembre que
x^{2} - \frac{L}{2}x = \left(x - \frac{L}{4}\right)^{2} - \left(\frac{L}{4}\right)^{2}.
Substituindo:
A(x) = -2\left[\left(x - \frac{L}{4}\right)^{2} - \left(\frac{L}{4}\right)^{2}\right].
Distribuindo o -2:
A(x) = -2\left(x - \frac{L}{4}\right)^{2} + 2\left(\frac{L}{4}\right)^{2}.
Agora calcule o termo constante:
2\left(\frac{L}{4}\right)^{2} = 2\cdot\frac{L^{2}}{16} = \frac{L^{2}}{8}.
Portanto obtemos a forma final:
A(x) = -2\left(x - \frac{L}{4}\right)^{2} + \frac{L^{2}}{8}.

Passo 7

Interpretando a forma completada: a expressão -2\left(x - \frac{L}{4}\right)^{2} é sempre menor ou igual a zero, e atinge seu máximo 0 quando \,x = \frac{L}{4}. Assim a área máxima é o termo constante:
A_{\max} = \frac{L^{2}}{8},
e ocorre quando
x = \frac{L}{4}.
Isso te dá a profundidade ótima em função de \,L.

Passo 8

Agora encontramos o comprimento paralelo ao muro \,y usando a restrição \,y = L - 2x. Substituindo \,x = \frac{L}{4}:
y = L - 2\cdot\frac{L}{4} = L - \frac{L}{2} = \frac{L}{2}.
Portanto, para área máxima temos as dimensões:
  • profundidade \,x = \frac{L}{4},
  • comprimento \,y = \frac{L}{2},
  • área máxima \,A_{\max} = \frac{L^{2}}{8}.

Passo 9

Checagem rápida usando derivada (confirmação). Se derivarmos \,A(x)=Lx-2x^{2}, obtemos
A'(x) = L - 4x.
Igualando a zero para achar extremo:
L - 4x = 0 \implies x = \frac{L}{4},
coincide com o resultado anterior. Como a segunda derivada é A''(x) = -4 < 0, esse ponto é de fato máximo.

Passo 10

Aplicando ao caso numérico dado no enunciado, onde \,L=1 (metro). Substituindo \,L=1 nas fórmulas obtidas:
x = \frac{1}{4} \quad(\text{metro}),
y = \frac{1}{2} \quad(\text{metro}),
A_{\max} = \frac{1^{2}}{8} = \frac{1}{8} \quad(\text{metro}^{2}).
Em decimais: \,x=0,25 m, \,y=0,5 m, \,A_{\max}=0,125 m ^2.

Resposta

x=\dfrac{1}{4}\\ \text{m}
y=\dfrac{1}{2}\\ \text{m}
A_{\max}=\dfrac{1}{8}\\ \text{m}^{2}

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