Exercício 5 Um fazendeiro quer construir um galinheiro retangular de modo que um dos lados seja uma parte de um muro. Sabendo-se que o fazendeiro possui 1 metros de tela, dimensionar o galinheiro de modo que este possua a área máxima.
Passo 1
O enunciado pede que dimensionemos um galinheiro retangular usando um muro como um dos lados, sabendo que o fazendeiro possui
metros de tela (ou seja,
metro de cerca disponível). As perguntas implícitas são: quais as dimensões do galinheiro (profundidade e comprimento) de modo que a área seja máxima, e qual é essa área máxima. Informações relevantes dadas:
- A tela disponível tem comprimento
(metro). - O galinheiro é retangular e um de seus lados coincide com um muro (não é necessário cercar esse lado).
- Vamos chamar de
a profundidade (a medida perpendicular ao muro) e de o comprimento paralelo ao muro. - Usaremos toda a tela para as três laterais restantes (duas profundidades e um comprimento).
Passo 2
Montando a equação que relaciona as dimensões com a tela disponível. Como apenas três lados precisam de tela (duas vezes a profundidade
e uma vez o comprimento
), a condição de uso da tela é:
Aqui
é o total de tela (no nosso caso
). Explicando: você precisa de
de tela para cada um dos dois lados perpendiculares ao muro e de
para o lado oposto ao muro.
Passo 3
Expressamos a área do retângulo em função de
e
. A área é
Para eliminar uma variável, usamos a restrição da tela e isolamos
:
Isso é só álgebra básica: subtrair
dos dois lados da equação da tela.
Passo 4
Substituímos
na expressão da área para obter a área como função de uma só variável
:
Agora temos uma função quadrática em
. Vou explicar o que isso significa: uma função do tipo
com coeficiente
é uma parábola voltada para baixo — ela tem um valor máximo (o vértice). Portanto, nossa missão é achar o valor de
que dá o vértice dessa parábola.
Passo 5
Escolha do método para encontrar o máximo. Há duas abordagens simples:
- Método A: cálculo diferencial — derivar
e achar onde a derivada é zero. - Método B: completar o quadrado — reescrever a parábola na forma
e ler o máximo diretamente.
Vou usar o método de completar o quadrado porque é puramente algébrico (útil caso você prefira não usar derivadas) e é direto para quadráticas. Depois faço uma checagem rápida usando derivadas para confirmar.
Passo 6
Completar o quadrado em
. Primeiro fatoramos
do termo quadrático e linear:
Agora completamos o quadrado dentro do parêntese. Lembre que
Substituindo:
Distribuindo o
:
Agora calcule o termo constante:
Portanto obtemos a forma final:
Passo 7
Interpretando a forma completada: a expressão
é sempre menor ou igual a zero, e atinge seu máximo
quando
. Assim a área máxima é o termo constante:
e ocorre quando
Isso te dá a profundidade ótima em função de
.
Passo 8
Agora encontramos o comprimento paralelo ao muro
usando a restrição
. Substituindo
:
Portanto, para área máxima temos as dimensões:
- profundidade
, - comprimento
, - área máxima
.
Passo 9
Checagem rápida usando derivada (confirmação). Se derivarmos
, obtemos
Igualando a zero para achar extremo:
coincide com o resultado anterior. Como a segunda derivada é
, esse ponto é de fato máximo.
Passo 10
Aplicando ao caso numérico dado no enunciado, onde
(metro). Substituindo
nas fórmulas obtidas:
Em decimais:
m,
m,
m
.