Exercício 1 Mostre que a função
dada por
, para
, tem, exatamente, três pontos críticos, um no intervalo ( 1,2 ), outro no intervlo ( 2,3 ) e outro no intervalo ( 3,4 ).
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para mostrar que
tem exatamente três pontos críticos, sendo um em cada um dos intervalos
,
e
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- •f é um polinômio (produto de fatores lineares) definido em todo
. - •
(porque são as raízes indicadas). - •Um ponto crítico é um ponto
onde (ou onde não existe, mas aqui é polinomial então existe em toda parte).
A pergunta é: provar que existem exatamente três pontos
tais que
, e que esses três
estão, respectivamente, em
,
e
.
Passo 2
Explicando uma ferramenta central que vamos usar: o Teorema de Rolle (explicação didática).
Se uma função
é contínua em
, diferenciável em
e
, então existe pelo menos um ponto
tal que
.
O que isso significa na prática (com linguagem simples): se a curva começa e termina no mesmo valor em dois pontos distintos, então entre esses pontos a derivada em algum lugar tem que ser zero (haverá um “topo” ou “vale” entre eles). Polinômios são contínuos e diferenciáveis em todo
, então podemos aplicar Rolle sempre que tivermos igualdade de valores em extremos de um intervalo.
Passo 3
Aplicando Rolle à nossa função
.
Como já identifiquei no Passo 1,
. Então tomo o intervalo
. A função
é contínua em
e diferenciável em
(porque é um polinômio), e
. Pelas hipóteses do Teorema de Rolle, existe pelo menos um ponto
tal que
Mesma ideia entre
e
:
e
é contínua/diferenciável, logo existe pelo menos um
com
E entre
e
:
dá pelo menos um
com
Conclusão parcial: já encontramos pelo menos três pontos críticos distintos
,
,
, cada um nos intervalos indicados.
(Dica intuitiva: cada par de raízes consecutivas de
força, por Rolle, a existência de um ponto crítico entre elas.)
Passo 4
Agora vamos mostrar que não existem mais pontos críticos além desses três. Para isso é útil ver a expressão de
e notar o grau do polinômio.
Primeiro, expandimos
de forma simples para encontrar
. Uma forma eficiente é agrupar termos simétricos:
Multiplicando essas duas quadráticas:
Definindo
podemos ver
Substituindo
e expandindo:
Agora derivamos termo a termo (regra básica:
):
Isto mostra, explicitamente, que
é um polinômio de grau
(uma cúbica).
Passo 5
Fato sobre polinômios (explicado didaticamente): um polinômio não nulo de grau
pode ter no máximo
raízes distintas. A razão é simples: se tivesse mais de
raízes distintas, ele seria o polinômio zero (coeficientes todos zero), o que contradiz o fato de seu grau ser
. Outra visão: cada raiz distinta permite fatorar um fator linear
; depois de
fatores já se chega ao grau
e não há como ter um fator a mais sem aumentar o grau.
Aplicando isso a
: como
,
pode ter no máximo
raízes reais distintas. Já encontrei pelo menos três raízes distintas
,
,
. Portanto não há como existir uma quarta raiz real além dessas.
Passo 6
Juntando os resultados:
- Pelo Teorema de Rolle (Passo 3) existem pelo menos três pontos
, , tais que . - Pelo fato do grau (Passo 5),
não pode ter mais do que três raízes. - Logo
tem exatamente três raízes reais, e elas são essas encontradas, cada uma no seu respectivo intervalo.
Isso prova que
tem exatamente três pontos críticos, um em cada intervalo solicitado.
Resposta
Existem exatamente três pontos críticos: um em
, outro em
e outro em
.