Exercício 1 Mostre que a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x) \doteq(x-1) \cdot(x-2) \cdot(x-3)(x-4), para x \in \mathbb{R}, tem, exatamente, três pontos críticos, um no intervalo ( 1,2 ), outro no intervlo ( 2,3 ) e outro no intervalo ( 3,4 ).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) \doteq (x-1)(x-2)(x-3)(x-4),\quad x\in\mathbb{R},
e pede para mostrar que f tem exatamente três pontos críticos, sendo um em cada um dos intervalos (1,2), (2,3) e (3,4).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • f é um polinômio (produto de fatores lineares) definido em todo \mathbb{R}.
  • f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=0 (porque são as raízes indicadas).
  • Um ponto crítico é um ponto x onde f'(x)=0 (ou onde f' não existe, mas aqui f é polinomial então f' existe em toda parte).
]
A pergunta é: provar que existem exatamente três pontos c tais que f'\text{(c)}=0, e que esses três c estão, respectivamente, em (1,2), (2,3) e (3,4).

Passo 2

Explicando uma ferramenta central que vamos usar: o Teorema de Rolle (explicação didática).
\text{Teorema de Rolle:}
Se uma função g é contínua em [a,b], diferenciável em (a,b) e g(a)=g(b), então existe pelo menos um ponto c\in(a,b) tal que g'\text{(c)}=0.
O que isso significa na prática (com linguagem simples): se a curva começa e termina no mesmo valor em dois pontos distintos, então entre esses pontos a derivada em algum lugar tem que ser zero (haverá um “topo” ou “vale” entre eles). Polinômios são contínuos e diferenciáveis em todo \mathbb{R}, então podemos aplicar Rolle sempre que tivermos igualdade de valores em extremos de um intervalo.

Passo 3

Aplicando Rolle à nossa função f.
Como já identifiquei no Passo 1, f(1)=f(2)=0. Então tomo o intervalo [1,2]. A função f é contínua em [1,2] e diferenciável em (1,2) (porque é um polinômio), e f(1)=f(2). Pelas hipóteses do Teorema de Rolle, existe pelo menos um ponto c_1\in(1,2) tal que
f'(c_1)=0.
Mesma ideia entre 2 e 3: f(2)=f(3)=0 e f é contínua/diferenciável, logo existe pelo menos um c_2\in(2,3) com
f'(c_2)=0.
E entre 3 e 4: f(3)=f(4)=0 dá pelo menos um c_3\in(3,4) com
f'(c_3)=0.
Conclusão parcial: já encontramos pelo menos três pontos críticos distintos c_1, c_2, c_3, cada um nos intervalos indicados.
(Dica intuitiva: cada par de raízes consecutivas de f força, por Rolle, a existência de um ponto crítico entre elas.)

Passo 4

Agora vamos mostrar que não existem mais pontos críticos além desses três. Para isso é útil ver a expressão de f'(x) e notar o grau do polinômio.
Primeiro, expandimos f de forma simples para encontrar f'. Uma forma eficiente é agrupar termos simétricos:
(x-1)(x-4)=x^2-5x+4,
(x-2)(x-3)=x^2-5x+6.
Multiplicando essas duas quadráticas:
f(x) = (x^2-5x+4)(x^2-5x+6).
Definindo y=x^2-5x podemos ver
f(x)=(y+4)(y+6)=y^2+10y+24.
Substituindo y=x^2-5x e expandindo:
f(x)= (x^2-5x)^2 +10(x^2-5x)+24 = x^4 -10x^3 +35x^2 -50x +24.
Agora derivamos termo a termo (regra básica: \frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}):
f'(x)=4x^3 -30x^2 +70x -50.
Isto mostra, explicitamente, que f' é um polinômio de grau 3 (uma cúbica).

Passo 5

Fato sobre polinômios (explicado didaticamente): um polinômio não nulo de grau n pode ter no máximo n raízes distintas. A razão é simples: se tivesse mais de n raízes distintas, ele seria o polinômio zero (coeficientes todos zero), o que contradiz o fato de seu grau ser n. Outra visão: cada raiz distinta permite fatorar um fator linear (x-r); depois de n fatores já se chega ao grau n e não há como ter um fator a mais sem aumentar o grau.
Aplicando isso a f': como \deg(f')=3, f' pode ter no máximo 3 raízes reais distintas. Já encontrei pelo menos três raízes distintas c_1\in(1,2), c_2\in(2,3), c_3\in(3,4). Portanto não há como existir uma quarta raiz real além dessas.

Passo 6

Juntando os resultados:
  • Pelo Teorema de Rolle (Passo 3) existem pelo menos três pontos c_1\in(1,2), c_2\in(2,3), c_3\in(3,4) tais que f'(c_i)=0.
  • Pelo fato do grau (Passo 5), f' não pode ter mais do que três raízes.
  • Logo f' tem exatamente três raízes reais, e elas são essas c_1,c_2,c_3 encontradas, cada uma no seu respectivo intervalo.
Isso prova que f tem exatamente três pontos críticos, um em cada intervalo solicitado.

Resposta

Existem exatamente três pontos críticos: um em (1,2), outro em (2,3) e outro em (3,4).

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