Exercício 6 Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite quando
tende a
da função racional
Informações dadas:
- O numerador é um polinômio de grau
: . - O denominador é um polinômio de grau
: . - O ponto onde avaliamos o limite é
.
O que precisamos encontrar: o comportamento (valor finito ou infinito e sinal) de
Passo 2
Ideia geral (explicação didática): para limites no infinito de quocientes de polinômios, o comportamento é dominado pelos termos de maior grau. Se o grau do numerador for maior que o do denominador, a razão tende a infinito (positivo ou negativo dependendo do sinal). Vou transformar a expressão para tornar esse domínio claro e poder aplicar limites elementares sem pular etapas.
Passo 3
Dividimos numerador e denominador por
(podemos dividir por
sempre que
; no processo de limite
isso é válido). Fazendo isso obtemos:
Agora simplificamos cada parte dividindo termos:
Passo 4
Estudamos o limite das partes quando
:
- Sabemos que
, porque vai para quando cresce em módulo (tanto para quanto para ). - Portanto
, pois subtrair algo que tende a não muda o limite. - Para o numerador
, o termo dominante é . Como e o coeficiente , temos . Em palavras: uma expressão linear com tende a quando .
Passo 5
Agora aplicamos a regra de limites para quocientes: se o numerador tende a
e o denominador tende a um número finito não nulo (aqui
), então o quociente tende a
. Mais formalmente,
Isso confirma que a razão cresce em módulo sem limite e com sinal negativo.
Passo 6
Uma observação alternativa (atalho usado com frequência): olhar apenas os termos de maior grau dá
e como
, obtemos o mesmo resultado. Usei esse atalho apenas para confirmar a resposta obtida de forma mais detalhada acima.