Exercício 6 Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{3 \cdot x^{2}-2 \cdot x+1}{2 x-1}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x tende a -\infty da função racional
\frac{3\cdot x^{2}-2\cdot x+1}{2x-1}.
Informações dadas:
  • O numerador é um polinômio de grau 2: 3x^{2}-2x+1.
  • O denominador é um polinômio de grau 1: 2x-1.
  • O ponto onde avaliamos o limite é x\to -\infty.
    O que precisamos encontrar: o comportamento (valor finito ou infinito e sinal) de
\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{3x^{2}-2x+1}{2x-1}.

Passo 2

Ideia geral (explicação didática): para limites no infinito de quocientes de polinômios, o comportamento é dominado pelos termos de maior grau. Se o grau do numerador for maior que o do denominador, a razão tende a infinito (positivo ou negativo dependendo do sinal). Vou transformar a expressão para tornar esse domínio claro e poder aplicar limites elementares sem pular etapas.

Passo 3

Dividimos numerador e denominador por x (podemos dividir por x sempre que x\neq0; no processo de limite x\to -\infty isso é válido). Fazendo isso obtemos:
\frac{3x^{2}-2x+1}{2x-1}=\frac{\dfrac{3x^{2}-2x+1}{x}}{\dfrac{2x-1}{x}}.
Agora simplificamos cada parte dividindo termos:
\frac{3x^{2}-2x+1}{2x-1}=\frac{3x-2+\dfrac{1}{x}}{2-\dfrac{1}{x}}.

Passo 4

Estudamos o limite das partes quando x\to -\infty:
  • Sabemos que \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x}=0, porque 1/x vai para 0 quando x cresce em módulo (tanto para +\infty quanto para -\infty).
  • Portanto \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\Bigl(2-\frac{1}{x}\Bigr)=2, pois subtrair algo que tende a 0 não muda o limite.
  • Para o numerador \displaystyle 3x-2+\frac{1}{x}, o termo dominante é 3x. Como x\to -\infty e o coeficiente 3>0, temos \displaystyle \lim_{x\to -\infty}(3x-2+\tfrac{1}{x})=-\infty. Em palavras: uma expressão linear ax+b com a>0 tende a -\infty quando x\to -\infty.

Passo 5

Agora aplicamos a regra de limites para quocientes: se o numerador tende a -\infty e o denominador tende a um número finito não nulo (aqui 2), então o quociente tende a -\infty. Mais formalmente,
\lim_{x\to -\infty}\frac{3x-2+\dfrac{1}{x}}{2-\dfrac{1}{x}}=\frac{-\infty}{2}=-\infty.
Isso confirma que a razão cresce em módulo sem limite e com sinal negativo.

Passo 6

Uma observação alternativa (atalho usado com frequência): olhar apenas os termos de maior grau dá
\frac{3x^{2}-2x+1}{2x-1}\sim\frac{3x^{2}}{2x}=\frac{3}{2}x,
e como \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{3}{2}x=-\infty, obtemos o mesmo resultado. Usei esse atalho apenas para confirmar a resposta obtida de forma mais detalhada acima.

Resposta

-\infty

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