Exercício (1(3,0)). Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln (\tan (7 x))}{\ln (\tan (2 x))}
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln (\tan (7 x))}{\ln (\tan (2 x))}
Passo 1
O enunciado pede que calculemos o seguinte limite quando
tende para
pela direita:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A variável
tende para (ou seja, valores positivos de próximos de zero). - As funções envolvidas são
no numerador e no denominador. - Não há outras restrições explícitas; devemos usar propriedades de limites e das funções logarítmica e trigonométrica.
Passo 2
Vamos lembrar um limite trigonométrico essencial e explicá-lo de forma simples: a razão
tende a
quando
. Para ver isso de forma direta usamos duas propriedades conhecidas:
-
. -
.
Observe que
. Então
Quando
, temos
e
, logo
Isto significa que, para pequenos valores de
,
é muito bem aproximada por
, ou seja
.
Passo 3
Aplicamos o resultado do passo anterior às funções com coeficiente: para cada constante
temos
porque basta substituir
e observar que
quando
. Assim, para
e
obtemos
Passo 4
Usamos a propriedade do logaritmo de produto: para
e
,
Escrevemos cada logaritmo em uma forma que separe o fator linear em
:
Passo 5
Agora analisamos os termos
. Como vimos no passo 3,
quando
. Usando a continuidade do logaritmo em
, segue que
Assim podemos escrever, com notação de pequenos erros que tendem a zero,
onde
e
quando
.
Passo 6
Desenvolvemos
e
usando a propriedade
:
Substituindo nas expressões do passo anterior:
Passo 7
Agora formamos a razão pedida e vemos o comportamento dominante quando
:
Observe que
quando
, ou seja, o termo
domina os termos constantes
e
e também domina os pequenos erros
(que tendem a
). Para tornar isso claro, dividimos numerador e denominador por
(que é negativo, mas isso não altera o limite do quociente):
Quando
temos
, então
,
e
. Portanto o numerador tende a
e o denominador tende a
, e assim o quociente tende a
.
Passo 8
Conclusão do cálculo do limite: a razão das duas funções logarítmicas tende a
quando
. Intuitivamente: para
muito pequeno,
, então
; como o termo
domina ambos numerador e denominador, os constantes
e
tornam-se irrelevantes no quociente, levando ao valor
.