Questão 1 (1 ponto cada item). Diga se os limites existem, justificando. Caso existam, diga qual o seu valor.
\lim _{x \rightarrow 1}\left[\operatorname{arccos} \left(\frac{x^{3}-3 x+2}{x^{4}-4 x+3}\right)\right]

Passo 1

O problema pede o cálculo do limite
\lim_{x \to 1} \operatorname{arccos}\Bigl(\frac{x^3 - 3x + 2}{x^4 - 4x + 3}\Bigr)
para verificar existência e, se existir, determinar seu valor. O conteúdo principal envolve limites de funções racionais que geram forma indeterminada e a continuidade da função \operatorname{arccos}.

Passo 2

Substituindo x=1 diretamente em
\frac{x^3 - 3x + 2}{x^4 - 4x + 3}
vemos que o numerador e o denominador valem zero, produzindo a forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Pelo Teorema do Resto, se f(1)=0 então (x-1) é fator de f(x).

Passo 3

Fatoramos numerador e denominador:
x^3 - 3x + 2 = (x-1)^2(x+2),
x^4 - 4x + 3 = (x-1)^2(x^2 + 2x + 3).
Para x\neq1,
\frac{x^3 - 3x + 2}{x^4 - 4x + 3} = \frac{(x-1)^2(x+2)}{(x-1)^2(x^2 + 2x + 3)} = \frac{x+2}{x^2 + 2x + 3}.

Passo 4

Agora a expressão é contínua em x=1, então
\lim_{x \to 1} \frac{x+2}{x^2 + 2x + 3} = \frac{1 + 2}{1 + 2 + 3} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}.

Passo 5

Como \operatorname{arccos} é contínua em [-1,1] e o argumento tende a \tfrac12, temos
\lim_{x \to 1} \operatorname{arccos}\Bigl(\frac{x^3 - 3x + 2}{x^4 - 4x + 3}\Bigr) = \operatorname{arccos}\Bigl(\frac{1}{2}\Bigr) = \frac{\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{3}

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