Exercício 5) Calcule os seguintes limites: \lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} p(x, y), sendo p(x, y) uma função polinomial em duas variáveis;
Passo 1
O enunciado pede: calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} p(x,y),
onde p(x,y) é uma função polinomial em duas variáveis. Informações dadas e o que se busca:
A função p é um polinômio em duas variáveis; isto é, pode ser escrita como soma finita de monômios do tipo a_{ij}x^{i}y^{j} com coeficientes reais a_{ij}.
O ponto (x_0,y_0) é um ponto fixo de \mathbb{R}^2 para o qual queremos avaliar o comportamento de p quando (x,y) se aproxima dele.
A pergunta única: qual é o valor de \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} p(x,y)?
Passo 2
Ideia geral (sem formalizar ainda): polinômios são combinações finitas de soma e produto de potências de x e y. Na prática, cada monômio x^i y^j tende para x_0^i y_0^j quando (x,y)\to(x_0,y_0); somas e produtos preservam limites. Portanto o limite intuitivo é p(x_0,y_0). Agora vamos provar isso rigorosamente (usando a definição de limite em \mathbb{R}^2) e mostrar como justificar isso na prova sem pular etapas.
Passo 3
Escrevendo o polinômio de forma geral. Como p é polinomial, existe um conjunto finito S\subset\mathbb{N}\times\mathbb{N} e coeficientes a_{ij}\in\mathbb{R} tais que
p(x,y)=\sum_{(i,j)\in S} a_{ij}\,x^{i}y^{j}.
O objetivo é mostrar que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, se 0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta, então
\left|p(x,y)-p(x_0,y_0)\right|<\varepsilon.
Isso será feito mostrando primeiro que cada monômio x^{i}y^{j} converge para x_0^{i}y_0^{j} e em seguida somando as estimativas.
Passo 4
Estimativa para potências (ferramenta técnica). Vou obter uma forma manipulável para |x^{i}-x_0^{i}| quando x está perto de x_0. Para i\ge 1 vale a identidade
Tomemos \delta\le 1 de modo que, sempre que \max(|x-x_0|,|y-y_0|)<\delta, tenha-se |x|\le |x_0|+1 e |y|\le |y_0|+1. Usando as desigualdades do passo anterior temos
Conclusão epsilon-delta. Use a norma sup para simplificar: seja r=\max(|x-x_0|,|y-y_0|). Então |x-x_0|\le r e |y-y_0|\le r, logo
\left|p(x,y)-p(x_0,y_0)\right|\le (K_x+K_y)\,r.
Escolha K:=K_x+K_y. Dado \varepsilon>0, tome
\delta=\min\left(1,\frac{\varepsilon}{2K}\right).
Se 0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta então r<\delta e portanto
\left|p(x,y)-p(x_0,y_0)\right|\le K r < K\delta \le K\frac{\varepsilon}{2K}=\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon.
(Observe que o fator 2 foi usado ao comparar normas; o essencial é que escolhendo \delta proporcional a \varepsilon obtemos a desigualdade desejada.) Isso prova rigorosamente que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 com a propriedade exigida pela definição de limite em \mathbb{R}^2.
Passo 8
Interpretação e atalho prático para a prova ou prova em exame. O argumento acima é o detalhe técnico. Em provas curtas é aceitável argumentar assim: cada função x\mapsto x^{i} e y\mapsto y^{j} é contínua em \mathbb{R}, produtos e somas de funções contínuas são contínuas, logo cada monômio (x,y)\mapsto x^{i}y^{j} é contínuo em \mathbb{R}^2; por fim soma finita de funções contínuas é contínua, portanto p é contínua em todo ponto (x_0,y_0) e
\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} p(x,y)=p(x_0,y_0).
Exemplo concreto rápido: se p(x,y)=x^{2}+3xy-5, então