Exercício 5) Calcule os seguintes limites:
\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} p(x, y), sendo p(x, y) uma função polinomial em duas variáveis;

Passo 1

O enunciado pede: calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} p(x,y),
onde p(x,y) é uma função polinomial em duas variáveis. Informações dadas e o que se busca:
  • A função p é um polinômio em duas variáveis; isto é, pode ser escrita como soma finita de monômios do tipo a_{ij}x^{i}y^{j} com coeficientes reais a_{ij}.
  • O ponto (x_0,y_0) é um ponto fixo de \mathbb{R}^2 para o qual queremos avaliar o comportamento de p quando (x,y) se aproxima dele.
  • A pergunta única: qual é o valor de \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} p(x,y)?

Passo 2

Ideia geral (sem formalizar ainda): polinômios são combinações finitas de soma e produto de potências de x e y. Na prática, cada monômio x^i y^j tende para x_0^i y_0^j quando (x,y)\to(x_0,y_0); somas e produtos preservam limites. Portanto o limite intuitivo é p(x_0,y_0). Agora vamos provar isso rigorosamente (usando a definição de limite em \mathbb{R}^2) e mostrar como justificar isso na prova sem pular etapas.

Passo 3

Escrevendo o polinômio de forma geral. Como p é polinomial, existe um conjunto finito S\subset\mathbb{N}\times\mathbb{N} e coeficientes a_{ij}\in\mathbb{R} tais que
p(x,y)=\sum_{(i,j)\in S} a_{ij}\,x^{i}y^{j}.
O objetivo é mostrar que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, se 0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta, então
\left|p(x,y)-p(x_0,y_0)\right|<\varepsilon.
Isso será feito mostrando primeiro que cada monômio x^{i}y^{j} converge para x_0^{i}y_0^{j} e em seguida somando as estimativas.

Passo 4

Estimativa para potências (ferramenta técnica). Vou obter uma forma manipulável para |x^{i}-x_0^{i}| quando x está perto de x_0. Para i\ge 1 vale a identidade
x^{i}-x_0^{i}=(x-x_0)\sum_{k=0}^{i-1} x^{\,i-1-k}x_0^{\,k}.
Se garantirmos que |x-x_0|<1, então |x|\le |x_0|+1 e, usando a desigualdade triangular,
\left|x^{i}-x_0^{i}\right|\le |x-x_0|\sum_{k=0}^{i-1} |x|^{\,i-1-k}|x_0|^{\,k} \le i(|x_0|+1)^{i-1}\,|x-x_0|.
A mesma ideia dá, para j\ge 1,
\left|y^{j}-y_0^{j}\right|\le j(|y_0|+1)^{j-1}\,|y-y_0|
sempre que |y-y_0|<1. Essas desigualdades são úteis porque transformam diferenças de potências em constantes multiplicando |x-x_0| ou |y-y_0|.

Passo 5

Estimativa para um monômio x^{i}y^{j}. Começo pela identidade
x^{i}y^{j}-x_0^{i}y_0^{j}=y^{j}(x^{i}-x_0^{i})+x_0^{i}(y^{j}-y_0^{j}).
Tomemos \delta\le 1 de modo que, sempre que \max(|x-x_0|,|y-y_0|)<\delta, tenha-se |x|\le |x_0|+1 e |y|\le |y_0|+1. Usando as desigualdades do passo anterior temos
\begin{aligned} \left|x^{i}y^{j}-x_0^{i}y_0^{j}\right| &\le |y|^{j}\,\left|x^{i}-x_0^{i}\right| + |x_0|^{i}\,\left|y^{j}-y_0^{j}\right|\\[4pt] &\le (|y_0|+1)^{j}\, i(|x_0|+1)^{i-1}\,|x-x_0| + |x_0|^{i}\, j(|y_0|+1)^{j-1}\,|y-y_0|. \end{aligned}
Defina constantes positivas
A_{ij}=i(|x_0|+1)^{i-1}(|y_0|+1)^{j},\qquad B_{ij}=|x_0|^{i}\, j(|y_0|+1)^{j-1},
então, sob \max(|x-x_0|,|y-y_0|)<1,
\left|x^{i}y^{j}-x_0^{i}y_0^{j}\right|\le A_{ij}\,|x-x_0| + B_{ij}\,|y-y_0|.]

Passo 6

Estimativa para o polinômio inteiro. Usando a expressão do passo 3 e a desigualdade do passo 5, obtemos
\begin{aligned} \left|p(x,y)-p(x_0,y_0)\right| &=\left|\sum_{(i,j)\in S} a_{ij}\bigl(x^{i}y^{j}-x_0^{i}y_0^{j}\bigr)\right|\\[4pt] &\le \sum_{(i,j)\in S} |a_{ij}|\left|x^{i}y^{j}-x_0^{i}y_0^{j}\right|\\[4pt] &\le \sum_{(i,j)\in S} |a_{ij}|\bigl(A_{ij}\,|x-x_0| + B_{ij}\,|y-y_0|\bigr). \end{aligned}
Defina
K_x=\sum_{(i,j)\in S} |a_{ij}|A_{ij},\qquad K_y=\sum_{(i,j)\in S} |a_{ij}|B_{ij},
que são constantes finitas (porque S é finito). Assim, para \max(|x-x_0|,|y-y_0|)<1 vale
\left|p(x,y)-p(x_0,y_0)\right|\le K_x\,|x-x_0| + K_y\,|y-y_0|.]

Passo 7

Conclusão epsilon-delta. Use a norma sup para simplificar: seja r=\max(|x-x_0|,|y-y_0|). Então |x-x_0|\le r e |y-y_0|\le r, logo
\left|p(x,y)-p(x_0,y_0)\right|\le (K_x+K_y)\,r.
Escolha K:=K_x+K_y. Dado \varepsilon>0, tome
\delta=\min\left(1,\frac{\varepsilon}{2K}\right).
Se 0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta então r<\delta e portanto
\left|p(x,y)-p(x_0,y_0)\right|\le K r < K\delta \le K\frac{\varepsilon}{2K}=\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon.
(Observe que o fator 2 foi usado ao comparar normas; o essencial é que escolhendo \delta proporcional a \varepsilon obtemos a desigualdade desejada.) Isso prova rigorosamente que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 com a propriedade exigida pela definição de limite em \mathbb{R}^2.

Passo 8

Interpretação e atalho prático para a prova ou prova em exame. O argumento acima é o detalhe técnico. Em provas curtas é aceitável argumentar assim: cada função x\mapsto x^{i} e y\mapsto y^{j} é contínua em \mathbb{R}, produtos e somas de funções contínuas são contínuas, logo cada monômio (x,y)\mapsto x^{i}y^{j} é contínuo em \mathbb{R}^2; por fim soma finita de funções contínuas é contínua, portanto p é contínua em todo ponto (x_0,y_0) e
\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} p(x,y)=p(x_0,y_0).
Exemplo concreto rápido: se p(x,y)=x^{2}+3xy-5, então
\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} p(x,y)=x_0^{2}+3x_0y_0-5.

Resposta

p(x_0,y_0)

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