Exercício 3) Esboçar o gráfico das seguintes funções, indicando no mesmo sistema de coordenadas o domínio e a imagem.
com domínio
.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
com domínio
Vou listar o que é pedido e o que foi dado:
- Função:
. - Domínio dado explicitamente:
. - Pedidos: esboçar o gráfico da função (isto é, o conjunto de pontos
com ) e, no mesmo sistema de coordenadas, indicar o domínio (no plano ) e a imagem (conjunto de valores de assumidos por em ).
Passo 2
Entender a forma da superfície: a expressão
depende só de
, isto é, só do raio ao quadrado. Isso implica duas coisas importantes:
- A superfície
é um paraboloide circular de revolução em torno do eixo : todas as curvas de nível são círculos centrados na origem do plano . - Se definirmos
, então . Assim a superfície pode ser vista como a equação radial .
Explicando de forma bem explícita: o gráfico completo (sem restrição de domínio) é
que é o paraboloide. Com a restrição
ficamos apenas com a “faixa” desse paraboloide correspondente a raios
entre
e
.
Passo 3
Passar para coordenadas polares (isso facilita esboçar e entender):
- Use
com e . - A condição do domínio vira
, ou seja (como ).
Logo uma parametrização do gráfico restrito ao domínio é
Isto é muito útil para visualizar: para cada valor fixo de
(fixa-se uma circunferência no plano
de raio
) o ponto correspondente no gráfico é uma circunferência horizontal no plano
com raio
. À medida que
varia de
a
essas circunferências “subem” e aumentam de raio formando exatamente a faixa do paraboloide entre as alturas
e
.
Passo 4
Analisar os cortes horizontais (curvas de nível) e a imagem (conjunto de valores de
):
- Para um valor fixo
, a equação tem solução se e somente se . No nosso domínio só aceitamos pontos com , então os possíveis são exatamente os entre e . - Portanto a imagem (conjunto de valores
quando ) é o intervalo .
Justificativa curta e direta: dado
temos
e
varia de
até
, cobrindo todo o intervalo
. Para cada
existe
e então existem pontos
com
pertencentes a
.
Passo 5
Como esboçar concretamente (passo a passo prático para desenhar na folha — faça assim na prova):
- No plano
desenhe o anel (a coroa) com centro na origem, raio interno e raio externo . Esse anel é o domínio . Marque as circunferências de raio e com linhas contínuas (porque as desigualdades são inclusivas). - Em seguida desenhe o eixo
perpendicular ao plano saindo da origem. Marque as alturas e no eixo . - No plano horizontal
desenhe uma circunferência de raio (isso corresponde ao círculo elevado até ). No plano desenhe uma circunferência de raio . - Conecte essas duas circunferências desenhando a parte do paraboloide
para : imagine “anéis” horizontais entre e cujos raios são . Desenhe algumas curvas de nível horizontais intermediárias (por exemplo para e ) para dar ideia da superfície curva. As linhas devem ser contínuas (as fronteiras estão incluídas). - Se quiser reforçar, desenhe também no mesmo desenho uma projeção do anel do domínio sobre o plano
(por exemplo, sombreie levemente o anel) para mostrar claramente que o domínio é a projeção do pedaço do paraboloide.
Observações úteis para o desenho: quanto maior
, maior
(monótono crescente em
); as seções verticais passando pela origem não interceptam esta faixa porque o domínio exclui
; as bordas
e
correspondem às “arestas” inferiores e superiores do pedaço de superfície e estão incluídas.
Passo 6
Alguns pontos concretos para conferir ao desenhar (use-os como referência ao esboçar):
-
pertence a e tem — dá o ponto na borda inferior. -
pertence a e tem — dá o ponto na borda superior. - Um ponto intermédio, por exemplo
tem então fica em e tem — útil para posicionar um anel intermediário.
Passo 7
Resumo conceitual final (para gravar): o gráfico pedido é exatamente a faixa do paraboloide
correspondente aos raios
. No plano
isso corresponde ao anel
. A imagem da função restrita a esse domínio é o intervalo
.
Resposta
Gráfico: parte do paraboloide
correspondente a
(anéis horizontais de raio
em alturas
).
Domínio: .
Imagem: .
Domínio:
Imagem: