Exercício 3) Esboçar o gráfico das seguintes funções, indicando no mesmo sistema de coordenadas o domínio e a imagem.
f(x, y)=x^{2}+y^{2} com domínio D: 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função f(x,y)=x^{2}+y^{2} com domínio
D: 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4.
Vou listar o que é pedido e o que foi dado:
  • Função: f(x,y)=x^{2}+y^{2}.
  • Domínio dado explicitamente: D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4\}.
  • Pedidos: esboçar o gráfico da função (isto é, o conjunto de pontos (x,y,z) com z=f(x,y)) e, no mesmo sistema de coordenadas, indicar o domínio (no plano xy) e a imagem (conjunto de valores de z assumidos por f em D).

Passo 2

Entender a forma da superfície: a expressão f(x,y)=x^{2}+y^{2} depende só de x^{2}+y^{2}, isto é, só do raio ao quadrado. Isso implica duas coisas importantes:
  • A superfície z=f(x,y) é um paraboloide circular de revolução em torno do eixo z: todas as curvas de nível f(x,y)=\text{constante} são círculos centrados na origem do plano xy.
  • Se definirmos r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, então z=r^{2}. Assim a superfície pode ser vista como a equação radial z=r^{2}.
Explicando de forma bem explícita: o gráfico completo (sem restrição de domínio) é
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid z=x^{2}+y^{2}\},
que é o paraboloide. Com a restrição 1\le x^{2}+y^{2}\le 4 ficamos apenas com a “faixa” desse paraboloide correspondente a raios r entre 1 e 2.

Passo 3

Passar para coordenadas polares (isso facilita esboçar e entender):
  • Use x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta com r\ge0 e \theta\in[0,2\pi).
  • A condição do domínio vira 1\le r^{2}\le 4, ou seja 1\le r^{2}\le4\Rightarrow 1\le r\le2 (como r\ge0).
Logo uma parametrização do gráfico restrito ao domínio é
(x,y,z)=(r\cos\theta,\; r\sin\theta,\; r^{2}),\qquad r\in[1,2],\\ \theta\in[0,2\pi).
Isto é muito útil para visualizar: para cada valor fixo de r (fixa-se uma circunferência no plano xy de raio r) o ponto correspondente no gráfico é uma circunferência horizontal no plano z=r^{2} com raio r. À medida que r varia de 1 a 2 essas circunferências “subem” e aumentam de raio formando exatamente a faixa do paraboloide entre as alturas z=1 e z=4.

Passo 4

Analisar os cortes horizontais (curvas de nível) e a imagem (conjunto de valores de z):
  • Para um valor fixo z=c, a equação x^{2}+y^{2}=c tem solução se e somente se c\ge0. No nosso domínio só aceitamos pontos com 1\le x^{2}+y^{2}\le4, então os z possíveis são exatamente os c entre 1 e 4.
  • Portanto a imagem (conjunto de valores z=f(x,y) quando (x,y)\in D) é o intervalo [1,4].
Justificativa curta e direta: dado r\in[1,2] temos z=r^{2} e r^{2} varia de 1 até 4, cobrindo todo o intervalo [1,4]. Para cada z\in[1,4] existe r=\sqrt{z}\in[1,2] e então existem pontos (x,y) com x^{2}+y^{2}=z pertencentes a D.

Passo 5

Como esboçar concretamente (passo a passo prático para desenhar na folha — faça assim na prova):
  1. No plano xy desenhe o anel (a coroa) com centro na origem, raio interno 1 e raio externo 2. Esse anel é o domínio D. Marque as circunferências de raio 1 e 2 com linhas contínuas (porque as desigualdades são inclusivas).
  2. Em seguida desenhe o eixo z perpendicular ao plano xy saindo da origem. Marque as alturas z=1 e z=4 no eixo z.
  3. No plano horizontal z=1 desenhe uma circunferência de raio 1 (isso corresponde ao círculo x^{2}+y^{2}=1 elevado até z=1). No plano z=4 desenhe uma circunferência de raio 2.
  4. Conecte essas duas circunferências desenhando a parte do paraboloide z=r^{2} para r\in[1,2]: imagine “anéis” horizontais entre z=1 e z=4 cujos raios são r=\sqrt{z}. Desenhe algumas curvas de nível horizontais intermediárias (por exemplo para z=2 e z=3) para dar ideia da superfície curva. As linhas devem ser contínuas (as fronteiras estão incluídas).
  5. Se quiser reforçar, desenhe também no mesmo desenho uma projeção do anel do domínio sobre o plano xy (por exemplo, sombreie levemente o anel) para mostrar claramente que o domínio é a projeção do pedaço do paraboloide.
Observações úteis para o desenho: quanto maior r, maior z (monótono crescente em r); as seções verticais passando pela origem não interceptam esta faixa porque o domínio exclui r<1; as bordas r=1 e r=2 correspondem às “arestas” inferiores e superiores do pedaço de superfície e estão incluídas.

Passo 6

Alguns pontos concretos para conferir ao desenhar (use-os como referência ao esboçar):
  • (x,y)=(1,0) pertence a D e tem f(1,0)=1 — dá o ponto (1,0,1) na borda inferior.
  • (x,y)=(2,0) pertence a D e tem f(2,0)=4 — dá o ponto (2,0,4) na borda superior.
  • Um ponto intermédio, por exemplo (x,y)=(1,1) tem x^{2}+y^{2}=2 então fica em D e tem z=2 — útil para posicionar um anel intermediário.

Passo 7

Resumo conceitual final (para gravar): o gráfico pedido é exatamente a faixa do paraboloide z=x^{2}+y^{2} correspondente aos raios r\in[1,2]. No plano xy isso corresponde ao anel 1\le x^{2}+y^{2}\le4. A imagem da função restrita a esse domínio é o intervalo [1,4].

Resposta

Gráfico: parte do paraboloide z=x^{2}+y^{2} correspondente a 1\le x^{2}+y^{2}\le4 (anéis horizontais de raio r\in[1,2] em alturas z=r^{2}\in[1,4]).
Domínio: D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 1 \le x^{2}+y^{2} \le 4\}.
Imagem: f(D)=[1,4].

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