Questão 4. (2,0 ptos.)Determine os valores de a e b para que a função seja continua em R
f(x)= \begin{cases}-\sqrt{2-x}, & x>1 \\\ a x+b, & 1 \leq x<2 \\\ \left|x^{2}-7 x+12\right|, & x \geq 2\end{cases}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A função por partes fornecida é
f(x)= \begin{cases}-\sqrt{2-x}, & x>1 \\\ a x+b, & 1 \leq x<2 \\\ \left|x^{2}-7 x+12\right|, & x \geq 2\end{cases}
  • O pedido: determinar os valores de a e b para que f seja contínua em \mathbb{R}.
Observação importante sobre a escrita do enunciado: a primeira linha está escrita com a condição x>1, que sobrepõe a segunda linha ( 1\le x<2) no intervalo (1,2). Para que a peça por partes faça sentido sem sobreposição, interpreto que a intenção clássica é que o primeiro ramo valha para x<1 (ou seja, que houvesse um sinal de desigualdade para a esquerda de 1). Vou adotar essa interpretação habitual (primeiro ramo para x<1), pois assim os ramos ficam não sobrepostos e os pontos críticos para verificar continuidade são exatamente x=1 e x=2.

Passo 2

O que significa "ser contínua em \mathbb{R}"? Vamos revisar a definição e as ideias que usaremos.
  • Definição local de continuidade num ponto: uma função f é contínua em um ponto x_0 se
\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0).
Isto significa que o limite (se existir) quando x se aproxima de x_0 deve ser igual ao valor que a função toma em x_0.
  • Para funções por partes, normalmente só precisamos checar continuidade nos pontos onde muda a regra (os “pontos de quebra”). Aqui esses pontos são x=1 e x=2.
  • Observação sobre tipos de funções:
    • Polinômios são contínuos em toda parte.
    • Funções afins ax+b também são contínuas em toda parte.
    • Função raiz quadrada \sqrt{\cdot} é contínua no seu domínio.
    • Valor absoluto |\cdot| é contínuo (compor com polinômio dá função contínua).
      Portanto, cada ramo isolado é contínuo em seu interior; só precisamos garantir que os limites laterais e o valor no ponto coincidam em x=1 e x=2.

Passo 3

Continuidade em x=1.
  • Limite pela esquerda ( x\to1^-): usamos o ramo que vale para x<1, que é -\sqrt{2-x}. Então
\lim_{x\to1^-} f(x) = -\sqrt{2-1} = -\sqrt{1} = -1.
  • Valor da função em x=1: o ramo do meio é definido em 1\le x<2, então
f(1)=a\cdot 1 + b = a+b.
  • Continuidade em x=1 exige igualdade do limite esquerdo com o valor:
a+b = -1.
Esta é a primeira equação que relaciona a e b.

Passo 4

Continuidade em x=2.
  • Limite pela esquerda ( x\to2^-): usamos o ramo do meio ax+b. Então
\lim_{x\to2^-} f(x) = a\cdot 2 + b = 2a+b.
  • Valor da função em x=2: como o terceiro ramo vale para x\ge 2, temos
f(2)=\left|2^{2}-7\cdot 2+12\right|.
Calculemos o polinômio dentro do valor absoluto:
2^{2}-7\cdot 2+12 = 4-14+12 = 2.
Portanto
f(2)=|2|=2.
  • Continuidade em x=2 exige
2a+b = 2.
Esta é a segunda equação para a e b.

Passo 5

Resolver o sistema linear obtido das condições de continuidade:
As equações são
\begin{cases} a+b = -1,\\[4pt] 2a+b = 2. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda obtemos
(2a+b)-(a+b)=2-(-1)\quad\Rightarrow\quad a = 3.
Substituindo a=3 em a+b=-1:
3+b=-1\quad\Rightarrow\quad b=-1-3=-4.
Logo \;a=3 e \;b=-4.]

Passo 6

Verificação rápida (pra ter certeza e ganhar confiança):
  • Em x=1: valor à esquerda era -1; com a=3,b=-4 temos a+b=3-4=-1. Bateu.
  • Em x=2: valor à direita era 2; com a=3,b=-4 temos 2a+b=6-4=2. Bateu.
  • Nos demais pontos cada ramo é uma função contínua no seu domínio. Como os limites laterais e os valores coincidem em x=1 e x=2, a função é contínua em todos os reais.
Força aí — agora tem os valores que fazem a função contínua em toda a reta!

Resposta

\,a=3
\,b=-4

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