Questão 4. (2,0 ptos.)Determine os valores de a e b para que a função seja continua em R
f(x)= \begin{cases}-\sqrt{2-x}, & x>1 \\\ a x+b, & 1 \leq x<2 \\\ \left|x^{2}-7 x+12\right|, & x \geq 2\end{cases}
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
A função por partes fornecida é
f(x)= \begin{cases}-\sqrt{2-x}, & x>1 \\\ a x+b, & 1 \leq x<2 \\\ \left|x^{2}-7 x+12\right|, & x \geq 2\end{cases}
O pedido: determinar os valores de a e b para que f seja contínua em \mathbb{R}.
Observação importante sobre a escrita do enunciado: a primeira linha está escrita com a condição x>1, que sobrepõe a segunda linha (1\le x<2) no intervalo (1,2). Para que a peça por partes faça sentido sem sobreposição, interpreto que a intenção clássica é que o primeiro ramo valha para x<1 (ou seja, que houvesse um sinal de desigualdade para a esquerda de 1). Vou adotar essa interpretação habitual (primeiro ramo para x<1), pois assim os ramos ficam não sobrepostos e os pontos críticos para verificar continuidade são exatamente x=1 e x=2.
Passo 2
O que significa "ser contínua em \mathbb{R}"? Vamos revisar a definição e as ideias que usaremos.
Definição local de continuidade num ponto: uma função f é contínua em um ponto x_0 se
\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0).
Isto significa que o limite (se existir) quando x se aproxima de x_0 deve ser igual ao valor que a função toma em x_0.
Para funções por partes, normalmente só precisamos checar continuidade nos pontos onde muda a regra (os “pontos de quebra”). Aqui esses pontos são x=1 e x=2.
Observação sobre tipos de funções:
Polinômios são contínuos em toda parte.
Funções afins ax+b também são contínuas em toda parte.
Função raiz quadrada \sqrt{\cdot} é contínua no seu domínio.
Valor absoluto |\cdot| é contínuo (compor com polinômio dá função contínua).
Portanto, cada ramo isolado é contínuo em seu interior; só precisamos garantir que os limites laterais e o valor no ponto coincidam em x=1 e x=2.
Passo 3
Continuidade em x=1.
Limite pela esquerda (x\to1^-): usamos o ramo que vale para x<1, que é -\sqrt{2-x}. Então
Verificação rápida (pra ter certeza e ganhar confiança):
Em x=1: valor à esquerda era -1; com a=3,b=-4 temos a+b=3-4=-1. Bateu.
Em x=2: valor à direita era 2; com a=3,b=-4 temos 2a+b=6-4=2. Bateu.
Nos demais pontos cada ramo é uma função contínua no seu domínio. Como os limites laterais e os valores coincidem em x=1 e x=2, a função é contínua em todos os reais.
Força aí — agora tem os valores que fazem a função contínua em toda a reta!