Exercício 7) Discutir a continuidade das seguintes funções:
f(x, y)=x y \ln (x y);

Passo 1

O enunciado pede: discutir a continuidade da função f(x,y)=x y \ln(x y).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é dada por f(x,y)=x y \ln(x y).
  • A expressão contém um \ln(\cdot), então há uma restrição natural sobre os pares (x,y) onde a função é definida (porque o logaritmo natural só aceita argumentos positivos no contexto dos números reais).

Passo 2

Determinar o domínio natural de definição de f.
  • O logaritmo natural \ln(t) está definido para t>0.
  • Aqui o argumento do logaritmo é x y. Logo a função só faz sentido (como função real) quando x y>0.
Portanto o domínio natural é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x y>0\}.

Passo 3

Continuidade em pontos do domínio D (ou seja, quando x y>0).
Explicação didática dos conceitos usados:
  • Uma função composta h\circ g é contínua se g é contínua e h é contínua no valor de g.
  • A aplicação produto (x,y)\mapsto x y é contínua em \mathbb{R}^2 (é um polinômio em x,y).
  • A função t\mapsto \ln t é contínua em (0,\infty).
  • O produto de duas funções contínuas é contínuo.
Aplicando isso ao problema:
  • Defina g(x,y)=x y (contínua em \mathbb{R}^2).
  • Defina h(t)=t\ln t para t>0. Aqui h é produto de t (contínua) e \ln t (contínua em (0,\infty)), logo h é contínua em (0,\infty).
  • Então f=h\circ g e, para quaisquer (x,y) com x y>0, temos g(x,y)>0 e h é contínua naquele ponto; assim f é contínua em todo ponto de D.
Conclusão parcial: f é contínua em todo \{(x,y): x y>0\}.

Passo 4

Comportamento junto à fronteira x y=0 — possibilidade de extensão contínua.
Queremos estudar o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(x_0,y_0) com x_0 y_0=0, tomando a aproximação apenas por pontos onde x y>0 (pois fora disso f não está definida).
Observe que, para (x,y) com x y>0, escrevemos t= x y>0. Então
f(x,y)=t\ln t.
Logo o comportamento quando t\to 0^+ determina o limite de f quando (x,y) se aproxima de um ponto com x_0y_0=0.

Passo 5

Calcular o limite \displaystyle\lim_{t\to 0^+} t\ln t (prova do fato clássico).
Prova usando L’Hôpital (forma conveniente e direta):
\lim_{t\to 0^+} t\ln t = \lim_{t\to 0^+} \frac{\ln t}{1/t}.
O numerador tende a -\infty e o denominador tende a +\infty, temos forma -\infty/\infty. Aplicando L’Hôpital:
  • derivada do numerador: \dfrac{d}{dt}\ln t = \dfrac{1}{t};
  • derivada do denominador: \dfrac{d}{dt}(1/t) = -\dfrac{1}{t^2}.
Assim
\lim_{t\to 0^+} \frac{\ln t}{1/t} = \lim_{t\to 0^+} \frac{1/t}{-1/t^2} = \lim_{t\to 0^+} (-t) = 0.
Portanto
\lim_{t\to 0^+} t\ln t = 0.

Passo 6

Concluir sobre a continuidade na fronteira e extensão contínua.
  • Seja [(x_0,y_0)) tal que x_0 y_0=0. Para qualquer caminho de aproximação por pontos (x,y) com x y>0 temos t=xy\to x_0 y_0=0 e, como vimos, t\ln t\to 0.
  • Logo \displaystyle\lim_{\substack{(x,y)\to(x_0,y_0)\xy>0}} f(x,y)=0.
Assim é possível definir um prolongamento contínuo de f à fronteira x y=0 simplesmente atribuindo valor 0 nesses pontos:
\tilde f(x,y)= \begin{cases} x y \ln(x y), & x y>0,\\[4pt] 0, & x y=0. \end{cases}
Com essa definição \tilde f\] é contínua em todo o conjunto \(\{(x,y): x y\ge 0\}.
  • Para x y<0 não existe f(x,y) real (o \ln não é real), logo não há continuidade ali no sentido de função real.]

Passo 7

Exemplos rápidos para fixar a intuição (controle de caminhos):
  • Aproximando (0,0) pela reta y=x (com x>0): f(x,x)=x^2\ln(x^2)=2x^2\ln x\to 0.
  • Aproximando (0,1) por (x,1) com x\to 0^+: f(x,1)=x\ln x\to 0.
Esses exemplos confirmam que o limite na fronteira é 0 independente do caminho (desde que se aproxime por pontos com xy>0).

Resposta

f é contínua em \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\;x y>0\}.
A função admite extensão contínua à fronteira x y=0 definindo o valor 0 nesses pontos; com essa extensão fica contínua em \{(x,y):x y\ge 0\}.
Para x y<0 a função não é real (o \ln não está definido), portanto não há continuidade nessa região.

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