Exercício 7) Discutir a continuidade das seguintes funções:
;
Passo 1
O enunciado pede: discutir a continuidade da função
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é dada por
. - A expressão contém um
, então há uma restrição natural sobre os pares onde a função é definida (porque o logaritmo natural só aceita argumentos positivos no contexto dos números reais).
Passo 2
Determinar o domínio natural de definição de
.
- O logaritmo natural
está definido para . - Aqui o argumento do logaritmo é
. Logo a função só faz sentido (como função real) quando .
Portanto o domínio natural é
Passo 3
Continuidade em pontos do domínio
(ou seja, quando
).
Explicação didática dos conceitos usados:
- Uma função composta
é contínua se é contínua e é contínua no valor de . - A aplicação produto
é contínua em (é um polinômio em ). - A função
é contínua em . - O produto de duas funções contínuas é contínuo.
Aplicando isso ao problema:
- Defina
(contínua em ). - Defina
para . Aqui é produto de (contínua) e (contínua em ), logo é contínua em . - Então
e, para quaisquer com , temos e é contínua naquele ponto; assim é contínua em todo ponto de .
Conclusão parcial:
é contínua em todo
.
Passo 4
Comportamento junto à fronteira
— possibilidade de extensão contínua.
Queremos estudar o limite de
quando
com
, tomando a aproximação apenas por pontos onde
(pois fora disso
não está definida).
Observe que, para
com
, escrevemos
. Então
Logo o comportamento quando
determina o limite de
quando
se aproxima de um ponto com
.
Passo 5
Calcular o limite
(prova do fato clássico).
Prova usando L’Hôpital (forma conveniente e direta):
O numerador tende a
e o denominador tende a
, temos forma
. Aplicando L’Hôpital:
- derivada do numerador:
; - derivada do denominador:
.
Assim
Portanto
Passo 6
Concluir sobre a continuidade na fronteira e extensão contínua.
- Seja [(x_0,y_0)) tal que
. Para qualquer caminho de aproximação por pontos com temos e, como vimos, . - Logo .
Assim é possível definir um prolongamento contínuo de
à fronteira
simplesmente atribuindo valor
nesses pontos:
Com essa definição
.
- Para
não existe real (o não é real), logo não há continuidade ali no sentido de função real.]
Passo 7
Exemplos rápidos para fixar a intuição (controle de caminhos):
- Aproximando
pela reta (com ): . - Aproximando
por com : .
Esses exemplos confirmam que o limite na fronteira é
independente do caminho (desde que se aproxime por pontos com
).
Resposta
A função admite extensão contínua à fronteira
Para