Exercício 2.4.1. Mostre que a série \sum_{n=1}^{+\infty} \ln \left(1+\frac{1}{a^{n-1}}\right) é convergente se a>1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \ln\!\left(1+\frac{1}{a^{\,n-1}}\right)
é convergente quando a>1. As informações relevantes são:
  • A variável a é um número real com a>1.
  • O termo geral da série é \ln\!\left(1+\dfrac{1}{a^{\,n-1}}\right) para n=1,2,3,\dots.
  • A pergunta é apenas sobre convergência da série (não é pedido calcular a soma exata).

Passo 2

Primeiro observação útil: cada termo da série é não negativo. De fato, para a>1 temos \dfrac{1}{a^{\,n-1}}>0, então
\ln\!\left(1+\frac{1}{a^{\,n-1}}\right)\ge 0.
Isso é importante porque, para séries com termos não negativos, a convergência pode ser testada comparando com outras séries não negativas (teste da comparação). Também é necessário que os termos tendam a zero; verificamos:
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a^{\,n-1}}=0\quad\Rightarrow\quad \lim_{n\to\infty}\ln\!\left(1+\frac{1}{a^{\,n-1}}\right)=\ln(1+0)=0,
então a condição necessária \text{termo geral}\to 0 está satisfeita.

Passo 3

Vamos usar uma desigualdade padrão e muito útil: para todo x>-1 vale
\ln(1+x)\le x.
Vou provar isso rapidamente de uma forma elementar. Defina a função
f(x)=\ln(1+x)-x,\qquad x>-1.
Calculando a derivada temos
f'(x)=\frac{1}{1+x}-1=\frac{1-(1+x)}{1+x}=-\frac{x}{1+x}.
Para x>-1 temos 1+x>0. Então f'(x)\le 0 quando x\ge 0 (na verdade f' é negativo para x>0 e nulo em x=0). Como f(0)=0 e f é decrescente para x\ge0, segue que para todo x\ge0
f(x)\le f(0)=0 \quad\Rightarrow\quad \ln(1+x)-x\le 0 \quad\Rightarrow\quad \ln(1+x)\le x.
(Para -1<x<0 a mesma desigualdade também vale, mas aqui só precisamos de x>0.)

Passo 4

Aplique a desigualdade acima ao nosso termo, tomando
x=\frac{1}{a^{\,n-1}}>0.
Obtemos, para cada n\ge 1,
\ln\!\left(1+\frac{1}{a^{\,n-1}}\right)\le \frac{1}{a^{\,n-1}}.
Assim o termo geral da série é majorado pelo termo correspondente da série geométrica de razão 1/a.

Passo 5

Recorde (ou mostro rapidinho) que a série geométrica com primeiro termo 1 e razão r converge se |r|<1, e sua soma é \dfrac{1}{1-r}. No nosso caso o termo é \dfrac{1}{a^{\,n-1}}, que corresponde a uma geométrica com razão r=\dfrac{1}{a}. Como a>1 temos |r|=\dfrac{1}{a}<1, portanto
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a^{\,n-1}}=\frac{1}{1-\frac{1}{a}}=\frac{a}{a-1},
uma soma finita.

Passo 6

Agora usamos o teste da comparação para séries com termos não negativos: se 0\le u_n\le v_n para todo n e \sum v_n converge, então \sum u_n converge também. No nosso contexto,
0\le \ln\!\left(1+\frac{1}{a^{\,n-1}}\right)\le \frac{1}{a^{\,n-1}},
e já vimos que \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{a^{\,n-1}} converge. Logo, por comparação,
\sum_{n=1}^{\infty}\ln\!\left(1+\frac{1}{a^{\,n-1}}\right)
converge.

Passo 7

Além de afirmar converge, podemos dar um limite superior para a soma: somando a desigualdade termo a termo e usando a soma da geométrica obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\ln\!\left(1+\frac{1}{a^{\,n-1}}\right)\le \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a^{\,n-1}}=\frac{a}{a-1}.
Isso mostra que a série não só converge, como sua soma é finitamente limitada por \dfrac{a}{a-1}.

Passo 8

Resumo intuitivo e encorajamento: a ideia é simples e poderosa — como \ln(1+x) cresce mais devagar que x para x>0, os termos \ln\!\left(1+\dfrac{1}{a^{\,n-1}}\right) são menores que os termos de uma geométrica convergente, então a série converge. Segura essa técnica: sempre que vir logaritmo de 1+ algo pequeno, pense em comparar com esse “algo”.

Resposta

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\ln\!\left(1+\frac{1}{a^{\,n-1}}\right) converge para todo a>1, e satisfaZ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\ln\!\left(1+\frac{1}{a^{\,n-1}}\right)\le\frac{a}{a-1}.

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