Exercício 2.4.1. Mostre que a série
é convergente se
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série
é convergente quando
. As informações relevantes são:
- A variável
é um número real com . - O termo geral da série é
para . - A pergunta é apenas sobre convergência da série (não é pedido calcular a soma exata).
Passo 2
Primeiro observação útil: cada termo da série é não negativo. De fato, para
temos
, então
Isso é importante porque, para séries com termos não negativos, a convergência pode ser testada comparando com outras séries não negativas (teste da comparação). Também é necessário que os termos tendam a zero; verificamos:
então a condição necessária
está satisfeita.
Passo 3
Vamos usar uma desigualdade padrão e muito útil: para todo
vale
Vou provar isso rapidamente de uma forma elementar. Defina a função
Calculando a derivada temos
Para
temos
. Então
quando
(na verdade
é negativo para
e nulo em
). Como
e
é decrescente para
, segue que para todo
(Para
a mesma desigualdade também vale, mas aqui só precisamos de
.)
Passo 4
Aplique a desigualdade acima ao nosso termo, tomando
Obtemos, para cada
,
Assim o termo geral da série é majorado pelo termo correspondente da série geométrica de razão
.
Passo 5
Recorde (ou mostro rapidinho) que a série geométrica com primeiro termo
e razão
converge se
, e sua soma é
. No nosso caso o termo é
, que corresponde a uma geométrica com razão
. Como
temos
, portanto
uma soma finita.
Passo 6
Agora usamos o teste da comparação para séries com termos não negativos: se
para todo
e
converge, então
converge também. No nosso contexto,
e já vimos que
converge. Logo, por comparação,
converge.
Passo 7
Além de afirmar converge, podemos dar um limite superior para a soma: somando a desigualdade termo a termo e usando a soma da geométrica obtemos
Isso mostra que a série não só converge, como sua soma é finitamente limitada por
.
Passo 8
Resumo intuitivo e encorajamento: a ideia é simples e poderosa — como
cresce mais devagar que
para
, os termos
são menores que os termos de uma geométrica convergente, então a série converge. Segura essa técnica: sempre que vir logaritmo de
algo pequeno, pense em comparar com esse “algo”.