Exercício 2.1.6. Calcule os seguintes limites:
b) \lim \frac{1}{n} \cos (n)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\cos(n).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{a sequência é }a_n=\frac{1}{n}\cos(n)\text{ e }n\to\infty.êé
Também sabemos (fato trigonométrico) que, para todo n,
-1\le \cos(n)\le 1.

Passo 2

Vou usar o Teorema do Confronto (também chamado de Teorema do Sanduíche). Ele diz, em palavras simples: se temos sequências x_n,y_n,z_n tais que x_n\le y_n\le z_n para todo n a partir de algum ponto e \lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}z_n=L, então também \lim_{n\to\infty}y_n=L. Aqui x_n é a “margem inferior”, z_n a “margem superior” e y_n a sequência que queremos encaixar.

Passo 3

A partir da desigualdade -1\le \cos(n)\le 1 e sabendo que \frac{1}{n}>0 para todo n\in\mathbb{N}, posso multiplicar as três partes por \frac{1}{n} sem inverter sinais. Obtém-se:
-\frac{1}{n}\le \frac{1}{n}\cos(n)\le \frac{1}{n}.
Aqui a sequência que queremos analisar, \frac{1}{n}\cos(n), ficou “sandwichada” entre -\frac{1}{n} e \frac{1}{n}.

Passo 4

Calculo agora os limites das sequências que estão nas margens:
\lim_{n\to\infty}\left(-\frac{1}{n}\right)=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.
Justificativa rápida: \frac{1}{n} tende a 0 quando n\to\infty porque o denominador cresce sem limite, então a fração fica cada vez menor em valor absoluto; o negativo só muda o sinal, então também tende a 0.

Passo 5

Aplicando o Teorema do Confronto às desigualdades do Passo 3 e aos limites do Passo 4, concluímos que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\cos(n)=0.
Em termos intuitivos: apesar de \cos(n) oscilar, seu valor está sempre limitado entre -1 e 1; multiplicando por \frac{1}{n} (que vai a zero) a oscilação fica cada vez menor e “morre” no limite.

Passo 6

Observação alternativa — via valor absoluto: como |\cos(n)|\le 1 temos
\left|\frac{1}{n}\cos(n)\right|\le \frac{1}{n}.
Como \frac{1}{n}\to 0, a desigualdade de comparação para o módulo implica que \frac{1}{n}\cos(n)\to 0. Mesmo resultado, outra visão.

Resposta

0

Exercícios relacionados